A systematic way of obtaining the effective viscoelastic moduli in time and frequency domain is developed for viscoelastic composites with periodic microstructures. The problem of estimating the effective moduli is formulated using the asymptotic homogenization method. With the effective moduli in time domain, effective complex moduli in frequency domain are obtained by using Fourier transformation. The memory effects of viscoelastic composites due to homogenization are shown in general form and a sufficient condition for the effects to disappear is discussed. It is shown that memory effects disappear if the relaxation moduli are separable in space and time. Several numerical examples are presented to illustrate and verify present approach and to discuss the memory effects and inverse Laplace transforms. The effective relaxation moduli are computed in Laplace transform domain and are numerically inverse-transformed into time domain. The least-square fitting in Laplace transform domain is employed based on the Prony series representations of the relaxation moduli. The effect of number of fitting terms on effective moduli is shown and the scheme for the selection of the fitting terms is proposed. The validity of the approach for the estimation of the effective moduli in general viscoelastic composites is demonstrated by comparing the estimated results with those of other approaches through numerical examples. In order to observe the memory effects, viscoelastic composites with the circular inclusion in the viscoelastic matrix, whose moduli are represented by the mechanical analogy models, are treated. Effective moduli for composite of two different viscoelastic materials are computed. Results showed that due to the presence of memory effects, additional terms were required for the accurate inverse Laplace transformation in the Prony series approximation of the homogenized relaxation moduli in Laplace transform domain. It is also shown in the numerical examples that damping characteristics of composites can be greatly changed by changing the configurations of the microstructures in the composites.
As an application of the above results by homogenization, an inverse homogenization problem of designing the microstructure of viscoelastic composites has been formulated aiming at improving stiffness/damping characteristics of the given composite materials in stead of finding new composites. An artificial two-phase material model has been suggested. The inverse homogenization problem has been defined as a topology optimization problem in which two different materials are to be distributed in a cell in such a way that the composite materials have the required or optimal material characteristics. The homogenization problem is formulated in complex domain, not in time domain, for sensitivity analysis of the objective function in view of the computational cost. The composite materials, which have the required stiffness/damping characteristics, are designed through numerical examples by the inverse homogenization approach.
균질화법(homogenization)을 이용하여 주기적인 미시 구조를 갖는 일반적인 점탄성 재료의 유효 물성치를 시간 영역에서 구하는 방법을 체계적으로 제시하였다. 또한 균질화법의 응용으로 새로운 복합재료를 개발하는 대신에 주어진 재료의 물성치를 이용하여 설계에서 요구되는 강성과 감쇄효과(stiffness and damping)를 가지는 복합재료의 미시구조를 위상 최적화 방법으로 설계하였다.
점근적 균질화법(asymptotic homogenization)을 이용하여 점탄성 재료의 유효 물성치를 구하는 과정을 수식화 하였으며 이를 수치 예제를 통하여 검증하였다. 시간 영역에서의 유효 물성치를 구하여 푸리에 변환(Fourier transform)을 통하여 주파수 영역으로 변환 하였다. 균질화법의 적용 결과 점탄성 복합재료에 부가적으로 생기는 기억효과(memory effect)를 일반적인 형태로 수식화 하였으며 유효 물성치가 시간과 공간 영역에서 분리되면 기억효과가 없어진다는 것을 보였다. 유효 물성치는 라플라스 변환 영역(Laplace transform domain)에서 최소 자승법(Least-square fitting)으로 근사화 하여 구한 후에 시간 영역으로 수치적으로 변환 하였다. 균질화법에 의한 기억 효과의 영향으로 단일 구성 재료의 점탄성 물성치 특성 표현에 사용된 항(terms in Prony series representation) 보다 더 추가된 항이 유효 물성치의 근사화 과정에 필요하다는 것을 보였고 보다 더 정확한 근사화를 하기 위한 적절한 항의 위치 및 갯수를 제안하였다. 균질화법에 의하여 구한 일반적인 점탄성 재료의 유효 물성치를 기존의 다른 방법에 의한 결과와 비교하였으며 균질화법에 의한 유효 물성치 추정 방법이 우수함을 보였다. 수치 예제를 통하여 점탄성 재료의 기억효과의 예를 제시하였고, 또한 복합재료의 미시구조를 변경함으로써 강성 및 감쇄효과가 크게 변경 될 수 있음을 보였다.
위 결과로부터, 균질화법의 응용으로 점탄성 복합재료의 양면적인 특성인 강성/감쇄효과를 향상 시킬 수 있는 미시구조를 설계하는 역 균질화 문제(Inverse homogenization method)를 구성하였다. 이 문제는 위상 최적화 문제로 정의하였다. 최적화에서는 두 가지의 다른 재료가 단위 미시구조(Cell)에서 적절히 분포되도록 하는 인공적인 두 종류의 재료 모델(Artificial two-phase material model)을 제안하였다. 균질화 문제는 목적함수의 민감도 해석을 위하여 복소수 영역(Complex domain)에서 수행하였으며 수치 예제를 통하여 설계에서 요구된 강성과 감쇄효과를 갖는 점탄성 재료를 설계할 수 있음을 보였다.
