The only sense in which Tunnell's theorem is not yet a completely satisfactory solution to the congruent number problem is that in one direction it is conditional upon the weak Birch-Swinnerton-Dyer conjecture for certain elliptic curves.
So, we will use the fact that n is a congruent number if and only if the elliptic curve $E_n(Q)$ for $E_{n}:y^2 = x^3 - n^2x$ has nonzero rank r. By means of complete 2-descent, Chahal's method and descent via two-isogeny, we get that the rank of the elliptic curve $E_{10}(Q)$ is 0. Hence we can conclude that 10 is not a congruent number.
본 논문에서는 정수 10 이 congruent number 가 아님을 증명한다. Tunnell's theorem에 의하여 간단히 알 수가 있으나, Tunnell's theorem이 the weak Birch-Swinnerton-Dyer conjecture를 만족시키는 것을 전제로 하기 때문에 완전히 만족스러운 답을 주지 못한다. 그래서 임의의 자연수 n이 congruent number인 것은 the elliptic curve $E_n(Q)$이 nonzero rank를 가지는 것과 동치 조건인 사실로부터 rank를 구하고자 한다. 그 구하는 방법으로 complete 2-descent, Chahal's method와 descent via two-isogeny들을 사용했다. 그 결과로 rank가 0임을 보인다. 그러므로 정수 10이 congruent number가 아님을 알 수 있다.
