We develope a new method to calculate the temperature dependent behavior of ideal relativistic Fermi gas using complex theory and Euler-Maclaurin formula. Our method does not require any restriction on the properties of integrand, namely integrand is nonsingular and not too rapidly varying about E = μ, as Sommerfeld expansion method does. Our method doesn't need the exact value of chemical potential. In that reason, Fermi integral and every thermodynamic function can be calculated at every chemical potential value with ease.
We investigate thermodynamic functions, especially density and pressure which are really important in studying compact objects in astrophysics. Their relationships are p ∝ $n^{\frac{5}{3}}$ for nonrelativistic limit and p ∝ $n^{\frac{4}{3}}$ for ultrarelativistic limit. For ultrarelativistic case, we can know that chemical potential is almost zero at any temperature. In that reason, we can fix chemical potenial as relativistic $E^r_f=mc^2(\sqrt{1+x^2_f}-1)$ at every temperature for ultrarelativistic case.
Above results are same as zero temperature limit. These results can be applied to calculate the relation between the mass and the radius of white dwarfs.
Indirect interaction between metal and the other metal was studied using RKKY interaction by Charles Kittel and others[12] with linear response theory before. Darby proposed a method to derive RKKY interaction with Green function. [7] Here, we propose new method to derive RKKY interaction. It is scattering theory. We find that RKKY interaction from scattering theory matches that from linear response theory. While linear response theory focuses on free-electron response function, scattering theory does on Green function. Difference between free-electron function and Green function is the order of integration. spin susceptibility is produced by integration all over two different integrands such that total results from two theories are exactly same in case of RKKY interaction.
In reality, impurities in metal have volume such that we should consider their size effects. In case of approaching with scattering theory, we can change potential easily such that volume effects can be easily calculated. We find that if the volume of impurity is very small, its effect can be ignored.
우리는 온도에 의존하는 상대론적 이상 Fermi 기체에 대한 해석학적인 계산을 하는 새로운 방법을 개발하였다. 이 방법은 피적분함수에 어떠한 제한도 없으며, 기존의 Sommerfeld 방법으로는 설명할 수 없는 여러 가지를 설명할 수 있을 것으로 기대된다.
이 방법을 통해 기존에 계산할 수 없었던 상대론적 Fermi 기체에 대한 적분을 해낼 수 있을 것이다. 우리는 특별히 여기서 천체물리학에서 별의 진화와 관련있는 농도와 압력사이의 관계를 계산하였다. 그 결과는 비상대론적 한계로 도달하면 두 열역학적인 함수의 관계가 $p \propto n^{\frac{5}{3}} $ 이고, 초상대론적 한계에 도달하면 $ p \propto n^{\frac{4}{3}} $ 임을 알게 되었다. 이 두 결과는 절대 0도에서의 결과와 일치함을 알 수 있다. 이 두 결과를 도출하기 위해 화학적 potential을 두 경우 모두 절대 0도의 값으로 고정시켰다. 비상대론적 한계의 경우는 낮은 온도에서만 이 결과가 응용될 수 있으나, 초상대론적 한계에서는 온도가 조금만 올라가도 화학적 potential값이 0에 도달하기 때문에 절대 0도의 값으로 고정시킨 결과가 매우 높은 온도까지 잘 맞는 것을 알 수 있었다. 이 결과는 white dwarfs의 질량과 반경 사이의 관계를 계산하는데 매우 중요하다.
