The effects of additive colored noise near the onset of chaos have been studied for one--dimensional logistic map. Scaling form of Lyapunov exponent λ near the transition point was determined in terms of the noise amplitude σ and the correlation time τα, and the critical exponent α associated with τ was evaluated. The analytical study shows that a certain approximation, which we call the effective white noise approximation, followed by the renormalization group treatment, leads to essentially the same structure of scaling function as the one determined by the numerical method.
We studied the quantum kicked rotator in order to investigate the role of the phase space structures, especially, the KAM tori in quantum dynamics. We found that the wave function show an exponential localization between the KAM tori and exponential tails and plateau structures outside of them in momentum space. The KAM tori have played a role as partial block of the probability flows in quantum dynamics. We also found numerically that the probability penetration through the KAM tori is exponential, and the average penetration depth scales in the limit $\hbar$ → 0 as λ ~ \hbar^{-0.685}$. Using the Wigner function formalism in terms of the density operator we evaluated analytically the scaling exponent of the penetration depth in the semiclassical limit.
The destruction of localization, or decoherence, of the quantum kicked rotator coupled to external heat bath through the momentum variable has been studied. The heat bath is modeled as an external white noise source with Gaussian distribution. By inspecting the probability flows across the trace of the KAM tori in classical phase space and the change of the diffusion rates as the noise intensity is varied, we showed that the quantum coherence effect, localization, is destructed by external noise. A qualitative explanation of the destruction of localization by external noise is given. We attributed it to the appearance of continuous eigenvalue spectrum of the time evolution operator in the influence of external noise. The matrix elements of the propagator which is averaged over the noise distribution is explicitly obtained. It contains the continuous part due to the finite noise intensity and gives rise to recovery of the diffusion in quantum dynamics.
주기 배가를 통해 혼돈으로 전이되는 일차원 로지스틱 맵에 외부에서 유입되는 유색 노이즈가 동력학적 양상에 미치는 영향에 대해 연구하였다. 수치적인 방법과 재규격화군 이론을 이용하여, 혼돈으로의 전이가 일어나는 매개변수 영역에서 계의 안정성을 나타내는 리아푸노프 지수가 외부 유색 노이즈의 세기 σ와 상관시간 τ에 대해 축척현상을 보이며 그 축척함수가 보편적이라는 것을 밝히고, 상관시간에 대한 축척지수를 구하였다. 재규격화군 이론을 적용하기 위하여 유색 노이즈 과정에 대한 유효 무색 노이즈 근사를 제안하였다. 재규격화군으로 구한 축척함수는 노이즈의 상관시간이 계의 고유 시간보다 짧거나 긴 영역 모두에서 수치적으로 구한 축척양상과 일치한다.
고전적으로 혼돈을 보이는 계의 위상공간 구조 특히 KAM 토러스의 양자역학적 국소화에서의 역활을 연구하기 위해, 주기적으로 델타함수 꼴의 힘을 받는 입자의 양자역학적 회전운동을 고찰하였다. KAM 토러스는 고전역학계에서 뿐만 아니라 양자계에서도 확률분포의 확산을 막는 포텐셜 장벽역활을 하고 있다. 계의 파동함수의 운동량공간에서의 확률분포는 KAM 토러스 사이에서 기존의 양자역학적 국소화를 보이고, KAM 토러스 바깥쪽에서는 지수함수적인 투과와 편평한 구조를 보인다. 밀도행렬로 표현된 위그너 함수를 이용한 해석적 방법으로 구한 KAM 토러스 근처에서 확률분포의 투과 길이는 반고전적 극한에서 λ~ \hbar^{-β}$, β=2/3과 같이 축척한다. 수치적 방법으로 계산한 β 값은 0.685…이고 해석적 방법에서의 고차 주기 궤도를 무시한 값의 보정만큼 차이가 난다.
주기적으로 델타함수꼴의 힘을 받는 입자의 양자역학적 회전운동에서의 국소화가 외부에서 유입된 환경에 의해 깨어짐을 연구하였다. 외부 환경의 모델로서 가우스분포를 가지는 무색 노이즈와 계의 운동량 변수가 연결된 상호작용 해밀토니안을 사용했다. 노이즈의 세기가 임계값 $σ_c$보다 클때 KAM 토러스 근처에서의 파동함수 확률분포의 국소화가 깨어지고, 계의 운동은 전 위상공간에서의 확산을 보인다. 노이즈의 세기가 충분히 클 경우 양자계의 확산 계수와 고전계의 확산 계수는 일치한다. 노이즈가 있을 때 양자 계의 시간 진화 연산자의 고유치분포에서 연속적인 부분이 생성되어 양자 계의 이산성이 부분적으로나마 완화되기 때문에 양자혼돈의 특징인 국소화가 깨어지고 혼돈을 보이는 고전계와 동일한 확산이 일어난다.
