We study on the geometric properties of the quadratic rational $Bézier$ curves and approximations using them. We find necessary and sufficient conditions for the curvature of a quadratic rational $Bézier$ curve to be monotone, to have a unique local minimum, to have a unique local maximum and to have both extrema, and we also visualize them in figures. We characterize the best approximation of a regular plane curve by a quadratic rational $Bézier$ curve with possible contact order at both end points and prove its uniqueness. We also present a Remes type algorithm to obtain the best approximation. We apply our characterization to the degree reduction of cubic rational $Bézier$ curve to quadratic one and also to the cubic offset approximation, and present the numerical results. For the circular arc of angle 0＜α＜π we present the explicit form of the best $GC^3$ quartic approximation and the best $GC^2$ quartic approximations of various types, and give the explicit form of the Hausdorff distance between the circular arc and the approximate $Bézier$ curves for each case. We also show the existence of the $GC^4$ quintic approximations to the arc, and find the explicit form of the best $GC^3$ quintic approximation in certain constraints and their distances from the arc. All approximations we construct in this thesis have the optimal order of approximation, twice of the degree of approximate $Bézier$ curves.
본 논문에서는 이차 유리 비-스플라인(B-spline)의 기하적인 특성과 이 특성을 이용한 근사에 관하여 연구하였다.
먼저, 이차 유리 베지어($Bézier$) 곡선의 곡률이 내부에서 최대값을 갖을 조건, 최소값을 갖을 조건, 둘 다 갖을 조건 및단조증가나 감소일 조건을 제어점(Control points)으로 나타냈으며, 이해하기 쉽도록 그림으로 표현하였다.
임의의 평면 곡선에 대한 이차 유리 베지어 곡선에 의한 최적 근사를 제시하고, 이것의 유일함(uniqueness)을 증명하며, 수치적결과를 찾을 수 있도록 알고리듬을 제시하였다. 이 알고리듬을 삼차 유리 베지어 곡선의 이차 유리 베지어 곡선으로의 최적 찻수감소법(degree reduction)에 적용하였고, 이차 유리 베지어 곡선의 옵셋(offset)곡선을 이차 유리 베지어 곡선으로 최적 근사한 결과를 찾아내었다.
또, 주어진 원호를 사차와 오차의 베지어 곡선으로 근사하였다. 베지어 곡선의 양함수 모양(explicit form)을 찾아내어, 원호와의 거리를 분석하고, 그중 최적의 근사를 제시하였다. 제한된 조건이 주어질 때의 최적 근사의 베지어 곡선을 제시하고, 기존의 삼차 베지어 곡선에 의한 결과와 비교하였다. 본 논문에서 제시된 모든 근사방법은 최고의 근사 찻수(approximation order)를 갖는 것을 증명하였다.
