A novel formalism for the isolation of resonances from Rayleigh normal modes (or partial waves) of scattered waves for acoustic and elastic wave scattering problems is proposed. The resonance scattering functions consisting purely of resonance information of the scatterer are newly defined.
Previous method based on resonance scattering theory, which has been used to extract the vibrational resonance information of the scatterer during last two decades, calculates reasonable magnitude information of the resonances. However, the phases of the resonances extracted by resonance scattering theory show physically unexplainable behavior although it is well known that the phase of a resonance term should shift by radians as the frequency passes through the resonance frequency. And the importance of the phase has been overlooked by previous works. Motivated by this fact, this paper attempts to revisit and review the derivation of the classical resonance scattering theory and develop a new method to extract the resonance information with physically meaningful phases as well as magnitudes.
For acoustic wave scattering problems, both magnitudes and phases of the isolated resonances can be correctly obtained by using the proposed formalism while previous works based on the classical resonance scattering theory can give only magnitude correctly. The reason previous works could produce correct magnitude information for acoustic wave scattering (no mode conversion) is explained. Plane compressive wave scattering from a variety of submerged bodies is analyzed by utilizing the proposed resonance scattering function and then the isolated resonances are compared with previously published results. The exact radians phase shifts through the resonances and at the anti-resonances caused by the interaction between adjacent resonances, which has never been reported before, shows that the proposed formalism properly extracts the resonances from each partial waves. Due to the different phases of the resonances for each partial waves, the new and previous method generate different total resonance spectra.
The concept of the resonance scattering function, developed for acoustic wave resonance scattering, is extended for elastic wave resonance scattering problems. During elastic wave scattering, the energy of the incident longitudinal (shear) wave is partially converted into the energy of the outgoing shear (longitudinal) wave. This phenomenon is well known as mode conversion. Due to the effect of mode conversion acting like a damping, the phase shifts through the resonances and at the anti-resonances are not exactly radians even though the proposed novel resonance formalism is applied. The magnitudes of the elastic resonances isolated by the proposed novel formalism are different from those isolated by the conventional resonance scattering theory while, for acoustic wave scattering problems, both the novel resonance formalism and resonance scattering theory generate identical magnitudes. This is because the unitarity condition is applied to the scattering matrix and can not be extended to the individual scattering functions for elastic wave scattering problems. Plane elastic wave scattering from a cylindrical water-filled cavity imbedded in an aluminum matrix is analyzed based on the proposed resonance scattering functions, and the isolated resonances are compared with the previously published results. Using the proposed formalism, the phase shifts through the resonances and at the anti-resonances asymptotically converge to radians as the non-dimensionalized frequency increases, while the behavior of the phases calculated by the previous method is not physically explainable. Based on this fact we can argue that the proposed formalism properly extracts the resonances from each partial waves not only in the magnitude diagram but also in the phase diagram for elastic wave scattering problems.
파동(Wave)의 산란 현상은 우리 주변에서 늘 발생하고 있는 자연 현상이며, 19세기 말Lord Rayleigh의 선구적인 연구로부터 시작하여 많은 연구자들에 의해 학문적으로 연구 되어오고 있다.
음향파 또는 탄성파의 산란은 파동의 반사, 굴절, 회절, 간섭등 복잡한 물리 현상들이 복합되어 있는 수학적으로 난해한 연구 대상이다. 임의의 탄성 물체로부터의 음향파 또는 탄성파의 산란 신호는 주파수의 함수로 볼 때 매우 급격하게 변화하는 복잡한 형상을 보인다. 이는 산란체의 임피던스가 매질의 그것에 비해 매우 크거나 또는 매우 작아 파동이 그 내부로 전혀 침투를 하지 못하는 경우는 산란파 신호가 주파수의 함수로 볼 때 급격한 변동이 없이 부드럽게 변화한다는 사실과 비교 할 때 매우 대조적이다. 이러한 관찰에 의해, 임의의 탄성체로 인한 산란파의 신호는, 그 탄성체 내부로 굴절되면서 침투한 파동의 에너지에 의해 가진된 산란체의 고유진동성분이 혼합되어있어서 복잡한 모양을 보인다는 것을 알 수 있다.
1977년에 미국에서 발표된 공명산란이론은 이러한 생각을 수학적 방법으로 체계적으로 정립하였으며, 산란체에 의해 산란된 음향파 또는 탄성파 성분이 산란체의 탄성 특성, 내부 구조 등과 관련되어있는 고유진동 성분과 산란체의 기하학적인 모양에 주로 관련이 있는 배경성분의 합으로 구성되어 있다고 주장한다. 공명산란이론은 현재까지 수백편에 달하는 많은 연구 논문들과 교과서들에서 사용되고 있고, 원격 탐지된 음향파 및 탄성파의 산란 신호를 분석하여 임의의 물체의 정체를 파악 하기 위한 연구등에 중요한 수단으로 사용되어 오고 있다.
공명산란이론에 의하면 고유진동성분은 산란파의 각 고유모우드에서 적절한 배경성분의 각 고유모우드 성분을 산술적으로 빼어 구할 수 있다. 실제로 이렇게 구한 성분(복소수양)의 크기를 그려보면 진동이론에서 다루는 완벽한 공명신호처럼 보인다. 하지만, 이렇게 해서 구한 공명의 위상은 물리적으로 설명을 하기 어렵고 분명한 의미를 주지 못하는 거동을 한다. 진동이론에서는 고유진동수를 통과하면서 위상이 π 라디안 만큼 변해야 한다는 것은 쉽게 증명할 수 있다. 기존의 연구자들도 이 사실을 잘 알고 있었을 것으로 생각되나 공명산란이론에 의해 계산된 위상의 거동을 분명하게 설명할 방도가 없었던 이유와 상대적으로 위상의 중요성을 간과 한 탓에 위상을 심도있게 논의 한 연구는 없었던 것으로 판단된다.
이와같은 배경에서, 본 논문에서는 공명산란이론에 의해 구한 성분이 올바른 공명성분이 아닐 수도 있다는 생각에서 출발하여, 공명산란이론을 다시 검토하고 공명성분을 추출해 낼 수 있는 새로운 방법을 제시하였다. 음향파 산란 문제에 대해 새로이 제안된 식은 기존의 식과 유사하나, 산란파에서 배경성분을 산술적으로 빼고 난 후, 배경성분에 해당하는 산란함수로 나누어 주는 차이가 있다. 이렇게 제안된 식과 기존의 식을 비교해보면 공명성분의 크기가 완전히 같다는 사실을 알 수 있다. 하지만, 위상성분은 매우 다르며, 새로이 제안된 식에 의해 물리적으로 설명이 가능하고 의미있는 위상이 구해진다. 제안된 방법을 검증하기 위해 여러가지 다양한 음향파 산란 문제를 수치적으로 해석하였다. 내부가 꽉 차있거나 또는 내부에 다른 물질이 들어있는 쉘 구조의 탄성 구형 또는 원통형 산란체에 의한 음향파 산란과 구형 또는 원통형 유체 산란체에 의한 음향파 산란문제를 해석하여 새로이 제안된 식이 기존 연구 결과 들과 완전히 동일한 공명의 크기를 계산하면서 물리적으로 올바른 위상의 거동을 보임을 확인 하였다. 또한 산란파의 각 정규모우드의 위상이 다름으로써, 기존의 식과 제안된 식이 매우 다른 공명스펙트럼을 계산한다는 중요한 사실을 밝혔다.
탄성파의 산란문제는 음향파의 산란 문제에 비해 더욱 일반적이며, 수학적으로도 복잡한 물리 현상이다. 이때는 산란체 외부에 종파와 횡파가 동시에 존재하며 이들간에 모우드변환이라는 현상을 통해 에너지가 상호 교환됨으로써 음향파 산란 문제와는 다른 특징들을 보인다.
본 논문에서는 음향파 산란문제의 해석을 위해 새로이 제안된 식을 탄성파 산란 문제로 확장 하였다. 기존의 연구들은 탄성파 산란문제에 대해서도 역시 공명산란이론을 이용해 산란파의 신호로부터 적절한 배경성분을 산술적으로 빼어 산란체의 고유진동성분을 추출해 내었다. 그리고 이렇게 해서 구한 공명성분들은 크기는 올바르게 보이나 그 위상의 거동은 음향파 산란 문제에서와 마찬가지로 물리적으로 설명이 불가능 한 거동을 보인다. 음향파 산란문제에 대해 제안된 이론을 탄성파 산란 문제로 확장한 결과 밝혀진 중요한 사실은, 탄성파 산란 문제에 대해서는 기존의 방법이 공명의 크기조차 올바르게 계산하지 못한다는 것이다. 그 이유는 모우드변환 현상을 통한 종파와 횡파간의 에너지의 변환과 관련이 있음을 본 논문에서 설명하였다. 이를 검증하기 위하여 수치해석을 위한 예제로써 탄성체 내에 존재하는 원통형의 유체 산란체에 대한 해석을 수행하였다. 새로이 제안된 식에 의해 구해진 공명의 크기는 모우드변환이 일어나는 경우는 기존의 연구 결과에 비해 근사하거나 크다. 한편, 위상의 거동은 음향파 산란문제와 같이 고유진동수 좌우를 통해 정확하게 π 라디안의 변화를 보이지 않는다. 그러나 주파수가 높아져 모우드변환 에너지가 작아짐에 따라 위상의 변화가 π 라디안에 수렴한다. 이는 물리적으로 볼 때 타당하다고 생각되는 현상이며, 산란체가 탄성체가 아닌 강체나 진공 실린더인 경우의 해석을 통하여 이러한 위상의 거동 특성이 모우드변환에 의한 것임을 확인하였다. 따라서 제안된 방법이 산란체의 공명 정보를 올바로 추출한다는 것을 알 수 있다.
산란파 신호로부터 산란체의 고유진동 성분 크기와 위상 모두를 올바르게 추출해 내는 일은 기본적인 물리 현상의 올바른 이해를 위해서도 필요 할 뿐 아니라, 미지의 수중 물체를 원거리에서 탐지하고자 하는 것과 같은 응용적인 측면에서도 매우 중요하다. 입사파에 의해 가진된 물체의 공명은, 그 공명의 크기와 위상 정보를 함께 알아야 정확히 판별(identification)될 수 있는 것이므로 본 논문에서 제안된 방법은 매우 유용한 연구 및 응용 수단으로 사용 될 수 있다.
