We consider the problem of approximation of Bézier curves of degree n by Bézier curves of reduced degree m(＜n) with respect to the Tchebycheff, $L^1$ and $L^2$-norm. For one-degree reduction, a simple and elegant method is proposed by the use of the Tchebycheff polynomials of the first kind, the second kind and Legendre polynomials in each norm. This method is obtained by means of `filter bank process', which consists of the synthesis filters and analysis filters. For the best approximations with endpoint interpolation, we summerize the best degree reduction schemes in the Tchebycheff and $L^2$-norm, which were given in [3, 7]. For the $L^1$-norm, we obtain the best one-degree reduction of Bézier curves of degree ≤5 with endpoint interpolation by using perfect spline. For the general degree n, a 'good' one-degree reduction is proposed by the use of an appropriate transform of the Tchebycheff polynomials of the second kind. Although this scheme does not give the best approximation, the subdivision algorithm suggested in this thesis is useful in implementations. For the higher degree reduction, the recursive application of one-degree reduction was suggested in [6, 21]. They are not best in general. In this thesis, the best two-degree reduction of Bézier curves of degree ≤4 is given by the use of the classical approximation theory in the Tchebycheff and $L^1$-norm. In the $L^2$-norm, the best degree reduction is easily obtained for any degree n.
본 논문에서는 체비셰프 노름, $L^1$ 노름과 $L^2$ 노름에서 n차 베지에 곡선의 m(＜n) 차로의 차수 감소의 문제를 다룬다.
우선, 일차수감소에 대해서 제일종 체비셰프 다항식, 제이종 체비셰프 다항식과 르장드르 다항식 등을 이용한 간단하고 깔끔한 방법을 소개한다. 이것은 합성 필터와 분석 필터로 구성된 '필터 뱅크 과정'을 수단으로 하여 얻어진다.
그러나 이렇게 얻어진 최적 근사는 주어진 베지에 곡선의 양 끝점을 지나지 않는다. 따라서, 체비셰프와 $L^2$ 노름에 대해서는 [3, 7]에서 언급했던 끝점 보간법을 요약 정리하고, $L^1$ 노름에서는 n ≤5 차 베지에 곡선에 대한, 완전스플라인을 이용한 끝점 보간의 성질을 갖는 최적 근사법을 제시한다. 동시에, 모든 n 차 베지에 곡선에 대해서는 제이종 체비셰프 다항식의 적절한 변환에 의한 '좋은 차수 감소법'을 얻는다. 이 방법은 최적 근사법은 아니지만, 세분 알고리즘에 의해 유용하게 사용될 수 있다.
고차수 감소에 대해서는 이미 발표된 논문들에서 일차수감소법의 반복 적용을 제시해 왔다. 그러나, 이런 방법에 의한 차수 감소는 최적이 아니다. 본 논문에서는 근사이론을 바탕으로 하여 한정된 차수의 베지에 곡선에 대한 최적 이차수 감소법을 제시한다. 체비셰프와 $L^1$ 노름에 대해서는 n≤4 차 베지에 곡선에 대한, $L^2$ 노름에 대해서는 모든 n 차 베지에 곡선에 대한 최적 이차수 감소법을 얻는다.
