During the last years, there has been a considerable amount of research on the subject of Sobolev orthogonal polynomials, which deals with the study of sequences of polynomials which are orthogonal relative to Sobolev inner product of the type
◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요)
where each $dμ_i$ is a signed Borel measure on the real line with finite moments.
The reason which these polynomials has attracted the attention of many researchers is of their intimate connection with spectral theory of ordinary differential equations, Fourier expansions, smooth data fitting, behavior(or location) of their zeros as well as the comparison with the theory of standard orthogonal polynomials.
In this thesis, we will first study the algebraic properties for these polynomials. This area deals with the study of an explicit representation, recurrence relations, and difference-differential relations for such polynomials. We then study differential equations with polynomials coefficients of three forms satisfied by such polynomials. In particular, we focus our attention on the spectral-type differential equations of order D
◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요)
satisfied by Sobolev orthogonal polynomials relative to π with N=1 in $(*)$,where $ℓ_i(x)$ is polynomial, independent of $n$ and $\lambda_n$ is an eigenvalue parameter. In this case, we find necessary and sufficient conditions for the differential equation $(**)$ to have such orthogonal polynomial solutions and also discuss the structure of distributional orthogonalizing weights for such polynomials and symmetrizability of such differential operators. This result not only generalizes a result by H. L. Krall, which handles the case when $dμ_1 \equiv 0$ but also provides a valuable technique in constructing weight functions for certain sequences of orthogonal polynomials.
지난 몇년에 걸쳐 소보레브(Sobolev)형의 내적
◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요)
에 관하여 직교성을 갖는 다항식 (소보레브 직교 다항식)들에 대한 주목할만한 많은 연구가 이루어져 왔는데 이는 기존의 고전적인 직교 다항식에 대한 이론과의 비교라든지 미분방정식의 스펙트랄 이론(spectral theory), Fourier 전개, 근사 이론(approximation theory)등 여러 분야와 밀접한 연관성을 가진데 기인한다.
본 논문에서는 먼저, 이러한 다항식들에 대한 표현정리나 순차관계(recurrence relations), 그리고 구조관계(structure relations)를 다루는 대수적 이론을 연구했고 다음에 이런 다항식들을 해로 가지는 여러 형태의 미분방정식을 구하였다. 특히, 차수가 D인 스펙트랄 형의 미분방정식
◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요)
에 대하여 심도있는 연구가 이루어졌는데 이런 미분방정식 (**)이 소보레브 직교 다항식을 해로 갖기 위한 필요 충분조건들을 구했고 또한 몇개의 예들을 제시했다. 사실 이것은 Krall 정리의 확장된 이론일뿐만아니라 소보레브 직교 다항식을 직교가 되게하는 초함수로써의 무게함수를 구하는 한 방법을 제시한 흥미있는 결과이다.
