An eigenvalue sensitivity analysis method of a structure is developed. This method uses constrained domain and/or shape as design variables. Firstly, a free vibration equation of the considering structure is formulated. The constraint equations are explicitly included in the governing equation using Lagrange multipliers. Then, the eigenvalue sensitivity is derived as changing constrained domain by taking its variations. The resulting sensitivity equation shows that it is proportional to the gradient of eigenfunction and the constraint force. The eigenvalue sensitivity due to structural shape change is also studied by making proper assumptions of the shape variation of a structure. The structural shape change was decomposed into two steps, the change of constrained boundary and the change of free boundary.
The proposed method is applied to derive eigenvalue sensitivity equation for a combined beam structure with respect to its joint coordinates. The change of joint coordinates is given by its length and orientation changes of each sub-beam. Then, the corresponding sensitivity equations are simply obtained using the developed method. It is also found that there is a conservative property on a uniform beam section which determines the pattern of eigenvalue sensitivity equations.
An optimization problem is provided to determine optimal positions of resilient supports of a structure to get a maximum fundamental natural frequency. Firstly, the eigenvalue sensitivity equation with changing support positions is derived. Then, some valuable characteristics concerning optimal support positions are discussed. Those are limit eigenvalue, critical stiffness, and separation point. Based on those characteristics, a general procedure is proposed to build up the loci of optimal support positions for a beam and plate structure as increasing their supporting stiffnesses. The loci start from the maximum displacement position of its original fundamental eigenfunction, and, in many cases, move to the nodal line of its limit eigenfunction as increasing the support stiffness.
본 논문에서는 구조물의 구속된 영역 또는 구조물의 형상을 설계 변수로 하는 새로운 고유진동수 민감도법이 제안되었다. 먼저 구조물의 구속 조건이 라그랑지 승수를 이용하여 운동 방정식에 포함되었다. 이 방정식에 변분을 취하여 구속 영역이 구조물의 영역 안에서 변하는 경우의 민감도식을 유도하였다. 유도된 민감도는 고유진동 모드와 구속력과 비례함을 보여준다. 구조물의 형상 변화에 의한 민감도식을 유도하기 위하여 구조물의 형상 변화가 구조물 경계에서의 구속 경계와 자유 경계의 변화로 표현된다고 가정하였고, 최종의 민감도식은 결국 각 경우의 민감도식의 합으로 표현되었다. 제안된 방법이 다물체 보 구조물의 연결부의 좌표 변화에 의한 고유진동수 민감도를 유도하는데 적용되었다. 좌표 변화는 각 보의 길이와 회전 변화로 이루어진다고 보았고, 이 때의 민감도는 각각의 민감도의 합으로 표현되었다. 구조의 1차 고유진동수를 최대로 하기 위한 탄성 지지점을 결정하는 최적화 문제가 보와 평판 구조물에 대해 제안되었다. 먼저 탄성 지지점의 위치 변화에 의한 고유진동수 민감도식을 유도하였다. 다음, 최적 지지점의 성질들에 대하여 논의하였는데, 이들은 극한 고유진동수, 특이 강성 계수, 분리점 등이다. 이들의 성질을 이용하여, 보와 평판 구조물에서의 탄성 지지의 탄성 계수가 변화함에 따른 최적 지지 위치의 궤적을 구하기 위한 일반적인 방법이 제안되었다. 이 궤적은 1차 고유진동 형상이 최대가 되는 점에서 출발하여, 일반적으로 극한 고유진동 형상이 영이 되는 선상의 특정 점으로 이동한다.
