An implicit approach for the incremental analysis of planar anisotropic sheet forming processes is developed based on the incremental deformation theory. The incremental deformation theory based on the minimum plastic work path enables convenient decoupling of deformation and rotation by the polar decomposition. The mathematical description of a constitutive law for the incremental deformation theory is obtained from the flow theory along the minimum plastic work path. The resulting incremental constitutive law is frame-indifferent(objective) since the materially-embedded coordinate system is employed in the theory. The formulation based on the incremental deformation theory is incorporated in the elasto-plastic and rigid-plastic finite element analysis codes.
In the elasto-plastic formulation, CB(Continuum Based) shell elements are employed and the are reduced to CBR(Continuum Based Resultant) shell. The CBR shell allows large rotation and large membrane / bending strain. Finite element equation for the CBR shell was derived in the explicit form. The lamina coordinate system is taken to coincide with planar anisotropic axes. Then, planar anisotropic axes during deformation are updated using the newly developed algorithm based on polar decomposition. An iterative solving method based on incremental deformation theory is also developed for a accurate and stable stress integration. The method has been found to be successfully applicable to non-quadratic yield function. Planar anisotropy is incorporated into the formulation for sheet forming by introducing the Barlat's stress potential to describe the deformation behavior for a more wide range of materials.
In the rigid-plastic formulation, a variational formulation for membrane elements based on the incremental deformation theory is derived for the incremental analysis of nonsteady static large deformation of planar anisotropic sheet metal obeying Barlat's strain-rate potential. By using the natural convected coordinate system, the effect of geometric change and the rotation of planar anisotropic axes are efficiently considered.
In order to verify the validity of the present formulation, several numerical examples have been simulated. Hydraulic bulge test has been simulated to check the material behavior and geometric nonlinearity. Earing in cylindrical cup drawing has been simulated in order to carefully investigate the planar anisotropic behavior. Also, NUMISHEET'93 square cup has been modeled for the NUMISHEET'93 aluminum alloy to check the oneset of necking. Finally, S-rail benchmark problem of NUMISHEET'96 has been modeled to investigate the springback phenomenon with the usefulness and robustness of the developed program. All the simulated results in the present works have been compared with the experimental results.
The results show that the present formulation for planar anisotropic deformation can provide a good theoretical basis for more extended analyses of sheet metal forming processes for planar anisotropic materials.
변형증분이론(incremental deformation theory)에 기초하여, 평면이방성(planar anisotropy) 박판성형공정(sheet metal forming process)의 해석을 위한 새로운 내연적(implicit) 유한요소 수식화 방법을 개발하였다. 최소 일의 경로를 따르는 변형증분이론은 변형과 회전을 완전히 독립시켜 다룰 수 있고, 응력적분을 위한 객관성(objectivity)을 보장할 뿐아니라, 모든 가능한 변형경로 중 유효변형률(effective strain)이 최소가 되도록 변형하는 이론적 근거를 제공한다. 본 연구에서는 변형증분이론에 기초한 유한요소 수식화를 탄소성(elasto-plastic)과 강소성(rigid-plastic) 코드이 확장시켜 적용하였다.
탄소성 수식화에서는 CBR(Continuum Based Resultant) 쉘을 도입하여 kinematics를 묘사하였다. 이 쉘요소는 박판성형공정에 적용할 수 있도록 큰 회전과 대변형의 박막(membrane) 및 굽힘(bending) 변형을 수용하였다. CBR 쉘요소를 위한 유한요소 방정식은 외연적 형태(explicit form)로 유도하였다. 쉘요소의 laminar 좌표계는 응력적분의 편이성을 위해서 평이방성 축과 일치시켰으며, polar decomposition에 의해 평면이방성축의 회전을 고려하는 수식화를 개발하였다. 정확하고 안정된 응력적분을위해서 변형증분이론에 기초한 반복계산 해법을 제안하였다. 이 방법을 비 이차 항복식(non-quadratic yield function)에 성공적으로 적용하였다. 평면이방성을 고려하기 위해 Barlat의 응력장(stress potential)을 유한 요소 수식화 하였다.
강소성 수식화에서는 역시, 변형증분이론에 기초한 박막요소 수식화를 하였고, Barlat의 변형률장(strain-rate potential) 이론을 유한요소 수식화 하였다. 질점좌표계(convected coordinate system)를 사용하여, 형상 변화효과(geometric change)와 평면이방성축의 회전을 효율적으로 고려하였다.
본 수식화의 검증을 위해서, 몇가지 수치적 해석을 수행하였다. 정수압 bulge 테스트를 실시하여 재료 자체의 거동과 기하학적 비선형성을 검증하였으며, 원형컵 디프드로잉(deep drawing)의 귀발생(earing) 현상을 시뮬레이션하여 평면이방성 거동을 주의깊게 토론하였다. 또한, NUMISHEET' 93 사각컵을 시뮬레이션하여 박판성형공정에서 중요한 defect인 네킹(necking) 거동을 관찰하였다. 마지막으로, NUMISHEET' 96 S-rail 예제를 해석하여, 스프링백(springback) 현상을 시뮬레이션하고 개발된 프로그램의 효율성과 강건성(robustness)을 입증하였다. 계산된 모든 예제는 실험치와 비교하였고, 계산결과가 실험치와 잘 일치함을 보였다.
따라서, 변형증분이론에 기초한 평면이방성 재료를 위한 본 수식화는 박판성형공정 해석을 위한 좋은 이론적 근거를 제공할 수 있을 것이다.
