Recently, numerical methods for solving partial differential equations on general polygonal and polyhedral meshes have received a huge attention due to the geometric flexibility and its appearance in various applications. The virtual element method is the one of such methods, and it is regarded as a generalization of the finite element method to the general polygonal and polyhedral meshes. In this dissertation, we develop some new nonconforming virtual element methods for the two-dimensional linear elasticity and Stokes problems.
For the elasticity and Stokes problems, one of the main difficulties is to design the discrete space satisfying both the Korn’s inequality and the inf-sup condition, which is especially hard for the lowestorder case. We present two kinds of lowest-order nonconforming virtual element methods for such problems. The first one uses the lowest-order nonconforming virtual element space with interior jump penalties along the interelement boundaries, while the second one uses the conforming virtual element space for one component of the displacement vector and fluid velocity and the nonconforming virtual element space for the other. These methods can be seen as extensions of the finite element methods suggested in [74] and [79], respectively. We prove the well-posedness, locking-free property and optimal convergence of our methods.
On the other hand, we also present a construction of a discrete divergence-free basis in the arbitraryorder nonconforming virtual elements for the Stokes problem. Using this basis, we can eliminate the pressure variable from the mixed system and obtain a reduced symmetric positive definite system, which can be solved by more efficient methods such as the conjugate gradient method, Cholesky factorization, and multigrid method. By some numerical experiments comparing the CPU times, we observe that our method is more efficient than the original method.
다각형 또는 다면체 격자 위에서 편미분방정식을 수치적으로 푸는 방법들이, 그 기하학적 유연성과 다양한 응용 문제에서의 등장으로 인해, 최근 큰 관심을 얻고 있다. 가상요소법은 그러한 방법들 중 하나로, 유한요소법의 다각형 및 다면체 격자로의 일반화로 여겨지고 있다. 이 논문에서는, 2차원 선형 탄성 문제 및 스톡스 문제를 위한 몇 가지 새로운 부접합 가상요소법들을 제시한다.
탄성 문제 및 스톡스 문제에서 제일 어려운 것 중 하나는, Korn 부등식과 inf-sup 조건을 동시에 만족시키는 이산공간을 만드는 것인데, 특히 최저차수의 경우에 이것이 더욱 어렵다. 우리는 두 유형의 최저차수 부접합 가상요소법을 개발하였다. 첫째 유형은 최저차 부접합 가상요소공간에 내부 점프 페널티를 가한 방법이고, 둘째는 변위 벡터 및 유체의 속도의 한 성분은 접합 가상요소공간을, 나머지 한 성분은 부접합 가상요소공간을 사용하여 근사하는 방법이다. 이은 각각 두 논문 [74]과 [79]에서 제시한 유한요소법들의 가상요소법으로의 확장으로 볼 수 있다. 두 방법에 대해 해의 존재성과 유일성, 무잠김 특성, 그리고 최적수렴을 증명하였다.
한편, 스톡스 문제를 위한 임의의 차수의 부접합 가상요소법에서 무발산 기저함수를 만드는 방법 또한 제시한다. 이 기저를 이용하면, 풀고자 하는 혼합된 연립방정식에서 압력 변수를 없애, 켤레기울기법, 촐레스키 분해, 다중격자법 등 더욱 효율적인 알고리즘으로 풀 수 있는 양의 정부호 대칭 연립방정식을 얻을 수 있다. CPU 시간을 비교하는 몇 개의 실험을 통해, 무발산 기저를 사용하는 방법이 기존의 방법보다 더 효율적임을 확인하였다.
