This paper explores research in population dynamics, a field of mathematical biology. In particular, we research the effects of resource distribution on the total population of species living in a bounded habitat using logistic reaction-diffusion equations. One of the main challenges in this area of research is determining the optimal resource distribution that maximizes the population. This paper introduces two optimization questions and presents their respective answers. The first question concerns the ratio of total population to total resources. We show that this ratio can be infinitely large in high dimensions under certain environmental conditions. Next, we address the issue of species that spread at a slow rate. The concentration of resources is generally advantageous for a species’ survival, but for species with slower spreading speeds, fragmented resources may be more beneficial for maximizing populations. Using the bounded variation norm, we demonstrate that optimal resource distribution becomes fragmented as the diffusion rate decreases in a bounded habitat with a smooth boundary. Additionally, we introduce several related issues to which our results may be applied.
본 논문에서는 수리생물학의 한 분야인 인구 역학을 연구한다. 특히, 로지스틱 반응-확산 모델을 이용하여, 경계가 있는 서식지에서 자원 분배가 종의 개체수에 미치는 영향을 연구하였다. 이 연구 주제의 쟁점 중 하나는 개체수를 최대화하는 최적의 자원 분포를 찾는 것이며, 본 논문에서는 이와 관련한 두 가지 결과를
차례로 소개하고 증명한다. 첫 번째 결과는 환경의 수용 능력 대비 가질 수 있는 최대 개체수의 비율에 관한 것이다. 우리는 특정한 환경 조건 하에서 이차원 이상의 매끄러운 경계를 가진 서식지를 다루었으며, 이 비율의 값이 무한히 커질 수 있음을 증명하였다. 다음으로는, 첫번째 결과에서 다루었던 환경 조건에 자원이 한 곳으로 집중되는 것을 방지하기 위한 상한 조건을 추가한 후, 느린 확산 속도를 가진 종의 경우를 다루었다. 일반적으로 자원의 집중이 종의 생존에 유리하다고 알려져 있지만, 개체수를 최대화하기 위해서는 자원을 쪼개어 분배하는 것이 더 유리할 수 있다. 본 논문의 두번째 결과에서는 매끄러운 경계를 가진 서식지에서 종의 확산 속도가 느려 짐에 따라 최적 자원 분포가 단편화 되는 현상을 확인하였다. 또한, 이상의 연구에서 사용된 방법을 응용할 수 있는 문제를 소개하고, 그 적용 결과를 정리하였다.
