This thesis discusses and models heterogeneous diffusion phenomenon. In general within a heterogeneous environment, a species of particles do not diffuse in a way to uniformize its density. This heteregeneous diffusion problem arose from mathematical biology to explain the dynamics, steady distribution and diffusion of organisms within given environment. This kind of heterogeneity is of a great interest in various fields including mathematical bioilogy and modeling population dynamics and requires a new and generalized form of diffusion equation. While the most famous diffusion, the heat equation, can be derived from the simple random walk, one has to develop a heterogeneous version of simple model as a velocity jump process and a position jump process, both suggested by several decades ago. Another problem of reference point issue is proposed quite recently and some paper has been published to explain the issue; that is, a heterogeneous random walk can have various dynamics depending on the particle taking walk-length at either departure point or arrivale point. This dissertation develops several models from a discrete velocity kinetic model or general version of random walk or position jump process and nonlocal diffusion equation and derives a correct form of diffusion equation with convergence of the solutions.
The first part of this paper models a heterogeneous diffusion equation from a discrete velocity kinetic model. The discrete kinetic model is defined on a $n$-dimensional cube with a periodic boundary, with $2n$ fractional species, with each species having a speed as a function of position and direction normal to each face of the cube. The kinetic model is well-defined, known from the classical semigroup theory and is applied a parabolic scaling to give one parameter family of the kinetic system. An Energy functional is defined and used to give weighted $L^p$ estimate of the kinetic system by its initial condition and the uniform $L^p$ estimate gives a weak subsequential convergence. Finally, Div-Curl lemma is used to conclude a strong convergence of solutions of the parametrized kinetic system to a unique limit, which is the solution of the resulting heterogeneous diffusion equation.
The second part models a heterogeneous diffusion by a position jump process. It is known in the community that random walk can be defined and numerically simulated with a nonconstant walk-length and sojourn time. Different from homogeneous random walk, there is another parameter called a reference point, which means at each jump a particle may choose the value of walk-length or sojourn time of the arrival point or the departing point. It is known that the numerical result quite varies when the reference is changed for the walk-length but stays the same for the sojourn time. This research proposes a discrete-time continuous space model that answers those previous results and derives a family of heterogeneous diffusion equation as a result. First, a generic recurrence relation is defined that models a simple random walk with a heterogeneous walk-length along a discrete time set. Then jump operators are defined which describe position jumps with heterogeneity. By a parabolic scale limit, one can calculate resulting diffusion equation that varies with a reference point parameter. With comparison principle established, we prove a uniform convergence of solutions for recursive relation to the solution of the local diffusion equation. Finally, a simple argument is proposed to understand that the sojourn time does not work in the way as the walk-length and the same uniform convergence and final diffusion equation are shown from the updated model that includes a heterogeneity in both sojourn time and walk-length.
The last part discusses another position jump process that is continuous time model while the previous one models a discrete time process. The model begins from the known equation from the continuous time Markov chain of the probability theory. With this knowledge, we model a nonlocal diffusion equation that incorporates both heterogeneous departing rate and walk-length where the departing rate is described as the inverse of the sojourn time. Then the existence and uniqueness of the nonlocal diffusion equation is shown by the Banach fixed point theorem and also comparison is checked. One can calculate to derive local diffusion equation as a parabolic scale limit and can show the uniform convergence with the comparison principle.
본 연구에서는 불균질 확산 현상에 대해 논의하고 기술한다. 일반적으로 불균질한 환경 하에서 입자들은 밀도를 균질하게 하는 방향으로 확산하지 않는다. 이러한 불균질 확산 문제는 수리생물학에서 주어진 환경에서 생물들의 개체 밀도의 변화, 정상상태, 확산 등으로부터 시작되었다. 이런 불균질성은 수리생물이나 인구 변화 등 다양한 영역에서 관심받고 있으며 새로운 일반적인 형태의 확산방정식을 필요로 하고 있다. 가장 잘 알려진 확산인 열방정식이 간단한 랜덤워크로부터 유도할 수 있듯이, 불균질한 경우에는 속도 점프과정과 위치 점프과정이 시작 모델로서 알려져있다. 다른 또 하나의 이슈는 기준점에 대한 것인데, 불균질 랜덤워크의 경우 입자가 시작점 혹은 도착점을 기준으로 점프거리를 가질 때에 다른 현상을 보이는 것이다. 이 학위논문에서는 discrete kinetic velocity model과 위치 점프 과정 및 nonlocal 확산모델을 통해서 적합한 불균질 확산 방정식을 유도하고 해의 수렴을 보인다.
첫번째 연구에서는 discrete kinetic velocity model로부터 불균질 확산방정식을 유도한다. 이 discrete kinetic model은 고전적인 semigroup 이론으로부터 잘 정의됨을 확인할 수 있고, parabolic scaling을 통해서 one parameter family 를 얻을 수 있다. Energy functional을 정의함으로써 kinetic system에 대한 균등한 $L^p$ 한계를 구할 수 있고, 이를 통해서 weak subsequential limit을 가지게 된다. 마지막으로 Div-Curl lemma를 통해서 강한 수렴을 보일 수 있고, 유일한 극한이 확산방정식의 해가 됨을 볼 수 있다.
두번째 연구에서는 위치 점프 과정을 통해서 확산현상을 기술한다. 점프 거리와 체류시간이 일정하지 않은 경우에 랜덤워크는 시작점이냐 도착점이냐를 기준으로 하느냐에 따라 수치적인 결과가 달라지는 것이 알려져있다. 이를 기준점이라고 하는데, 이 연구에서는 이산시간 연속공간 모델을 통해 이 알려진 결과에 부합하는 모델을 세우고 parabolic scale limit을 통해서 불균질 확산 방정식을 유도한다. 먼저, 이산시간에 대해서 상수가 아닌 점프 거리를 고려한 점화식을 정의하고 기준점과 점프 거리를 포함하는 점프 연산자를 정의한다. 이후 확산방정식을 계산하고 또 비교 원리를 통해서 해의 균등 수렴을 보일 수 있다. 체류시간에 대해서는 간단한 예시를 통해서 점프 거리와 같이 기준점에 따라 결과가 달라지지 않는 것을 확인할 수 있으며, 체류시간이 포함된 최종 모델에서도 비슷하게 확산방정식을 구하고 해의 균등 수렴을 확인할 수 있다.
마지막 연구에서는 연속시간인 위치 점프 과정을 통해서 확산 현상을 기술한다. 먼저 확률론의 마르코프 연쇄에서 잘 알려진 식으로부터 일정하지 않은 체류시간과 점프 거리를 고려한 nonlocal 확산 방정식을 세운다. Banach fixed point theorem을 이용해서 nonlocal 방정식의 해의 유일성과 존재성을 보이고 또한 비교 원리를 보일 수 있다. 이를 통해서 최종적으로 불균질 확산방정식을 유도하고 해의 균등 수렴을 보일 수 있다.
