Syzygies of Veronese embedding has been studied as important examples and problems. In this thesis, we study of the form of elements of the first Koszul cohomology directly for the cases n = 1 and n = 2, d = 2, 3, 4. In [EEL2016], L. Ein, D. Erman and R. Lazarsfeld proved the asymptotic nonvanishing theorem for syzygies of Veronese embedding, and the Betti numbers are known for given cases. We find generators of the Koszul cohomology, and by showing that the number of generators and Betti number are same, we show these elements form a basis. To do this, we explain Hilbert’s syzygy theorem, minimal free resolution, and Betti number following [Eisenbud2005] and [Eisenbud1995], and we treat examples of four points in P2 and seven points in P3 . We also review necessary parts in [EEL2016], and then we find a basis of Koszul cohomology of Veronese embedding for for the cases n = 1 and n = 2, d = 2, 3, 4.
베로네제 매장의 관계식은 대수기하학의 중요한 문제로 많은 사람들이 연구해 왔다. 본 논문에서 우리는 n = 1 또는 n = 2, d = 2, 3, 4인 경우에 대해 베로네제 매장의 첫 번째 코줄 코호몰로지의 원소가 어떤 형태로 주어지는지 직접적으로 구한다. L. Ein, D. Erman와 R. Lazarsfeld가 [EEL2016]에서 코줄 코호몰로지가 0이 되지 않는 경우에 대하여 밝혔고, 이를 기반으로 주어진 베로네제 매장의 베티수는 이미 알려져 있다. 우리는 주어진 경우에서의 코줄 코호몰로지를 생성하는 원소를 구하고 베티수와 그것의 개수가 같음을 보임으로서 구한 원소들이 기저임을 보일 것이다. 이를 위해서 [Eisenbud2005]와 [Eisenbud1995]에서 다룬 Hilbert의 관계식 정리, 최소 자유 분해, 그리고 베티 수에 대해 언급한 후, P2 에서의 4점, P3 에서의 7점에 대하여 예시로 다룬다. 또한 [EEL2016]에서 필요한 부분을 요약하고, n = 1 또는 n = 2, d = 2, 3, 4인 베로네제 매장에 대해 코줄 코호몰로지의 기저를 구한다.
