The overlapping domain decomposition method is known to be an effective way to solve partial differential equations. The method splits the domain into small subdomains, solves the subproblems defined in the subdomains in parallel, and brings the solutions together to update the whole domain solution. In this thesis, we use the deep operator network as a solver for subproblems. This deep operator network is trained to approximate an operator which takes boundary values as input in a given domain and outputs a solution of a homogeneous equation inside the domain. The deep operator network allows the solution of the corresponding homogeneous problem to be obtained even if the boundary values of the subdomain change during the iteration steps of the domain decomposition method. By combining a finite difference method and the deep operator network, we design a very fast overlapping domain decomposition method and numerically check the strong and weak scalabilities of our method.
중첩 영역분할법은 편미분 방정식을 푸는 효과적인 방법으로 알려져 있다. 이 방법은 영역을 작은 부분영역으로 나누고, 각 부분영역에 정의된 부분문제를 병렬로 풀고, 이를 모아서 전체 해를 갱신한다. 이 학위 논문에서는 심층 연산자 신경망을 이용해 부분문제를 푼다. 심층 연산자 신경망은 주어진 영역에서 경계값을 입력받아 영역 내부에서 동질방정식의 해를 출력해주는 연산자를 근사하도록 훈련이 된다. 이 심층 연산자 신경망을 이용하면 영역분할법의 반복 단계에서 부분영역의 경계값이 변하더라도 해당되는 동질방정식의 해를 구할 수 있다. 유한 차분법과 심층 연산자 신경망을 결합하여 우리는 매우 빠른 중첩 영역분할법을 고안하고 이 방법의 강한 확장성과 약한 확장성을 수치적으로 확인하고자 한다.
