본 논문에서는 타원 경계 방정식의 해를 삼차 스플라인 병치법으로 구하는 데 있어서 선조건방법으로써 유한 차분 연산자를 제시하였다.
이차의 타원 연산자 $ Au : = - Δu + a_{0}u $에 대하여 지역 Legendre-Gauss 점들로부터 삼차의 스플라인 병치법으로 이산화 하여 얻은 행렬 $\hat{A}_{N^2}$을, 간단한 타원 연산자 $Lu : = - Δu + u$에 대하여 유한 차분 연산자를 적용하여 얻은 행렬 $\hat{L}$_{N^2}$로 선조건하여 만든 선조건행렬 $\hat{L}^{-1}_{N^2} \hat{A}_{N^2}$의 조건수가 uniform bound임을 증명하였다.
또한 이 결과로 부터 일반적인 타원 연산자 $Au : = -Δu + a_{1}u_{x} + a_{2}u_{y} + a_{0}u$ 에 대해서 같은 방법으로 얻은 선조건 행렬 $\hat{L}^{-1}_{N^2} \hat{A}_{N^2}$의 $H^1$ singular 값들이 uniform bound 임을 증명하였다. 이는 GMRES, Bi-CGSTAB등과 같은 반복법의 수렴의 신속성과 안정성을 보장해준다.
이러한 결과를 탄성문제에 적용하여 실제로 조건수를 계산해 봄으로써 uniform bound임을 보이고 해를 구하여 보았다.
