In the numerical estimation of the term structure of interest rates, one of the most common topics is the smoothness of the fitting curve, which must be combined with the precision of the fitting curve at each observed point. The spline function have been widely used in the approximation of the term structure because of the flexibility of them. This thesis, as a major point, tries to choose the smoothest curve in the set of spline functions each of which satisfies the conditions assigned by the user on the precision of the fitting curve. In order to accomplish this object, a study on spline and its application should be done. The reason why we choose a special type of spline is that, in the term structure estimation, we must be greatly concerned about the precision and the smoothness. However, as far as we know, there are no works to explain the relationship between the characteristics of the initial yield curve and the properties of spline functions.
Chapter 3 presents the general form of the spline and also presents interpolation problems of initial yield curve. The chapter explains why we choose a special type of spline and how to join the selected spline to the estimation problem. Analyzing the relationship between the knot sequence and its approximation, we define a spline and introduce the adjustment process of the term structure data. Measure of the smoothness or the precision of a fitted curve are appeared in this process and the chapter is finished by the settlement of the minimal interpolation problem which contains both the two measures. A general study of the term structure described in Chapter 2 offers a short review on several previous works of the continuous time models and the numerical estimation models. in this division of the numerical estimation, many researchers have used the spline fitting technique. Most of the developed methods contain cubic splines of fourth order splines filtered by their own ways, and several conditions are added to produce a well-fitted curve. Chapter 4 presents a new method using the modified cubic smoothing spline. In this chapter, we introduce the usage of the upper bound of error which depends on the friction in the market. According to the range of the market friction, the value of the upper bound may be changed and the adjustment ordinates are also changed. The basic concept of the modified cubic smoothing spline method can be widely applicable in the numerical estimation of the term structure of interest rates.
금융 자산은 default 위험을 내포하고 있고 가격의 변화가 스토케스틱 (stochastic)한 행태를 가지므로 미래에 실현될 가치에 대한 정확한 평가가 매우 어렵다. 반면에 국가에서 발행하는 채권은 default 위험이 없고 존재하는 각 만기의 수익률이 결정되어 있어서 그 가치를 쉽게 평가 할 수 있을 뿐만 아니라 다른 금융 자산의 가치 평가에 하나의 benchmark를 제공한다. 따라서 채권의 가치 평가와 추정에 관한 연구는 매우 활발하게 진행되어 오고 있다. 이 분야의 학문적 연구로는 미국에서 발행한 국채(T-bond)를 주 대상으로 삼고 있어서 본 연구에서도 미국 국채의 자료를 연구에 이용하였다.
이자율의 기간 구조의 수치 해석학적인 추정에 있어서, 가장 중요한 요소로는 근사 곡선의 완만성(smoothness)과 근사정도(precision)를 들 수 있다. 이 두 요소를 잘 기술하기 위해서 McClouch를 비롯해서 많은 학자들이 이자율 기간구조의 수치 해석학적인 근사에 스플라인(spline) 함수를 사용하고 있다. 스플라인 함수는 다양한 형태의 조건을 만족하는 유연성이 있기 때문에 곡선 근사의 문제에 매우 널리 사용된다. 이자율 기간구조의 곡선 근사에도 많이 사용되는 이유가 스플라인의 유연성을 이용하여 곡선의 완만성과 근사정도를 높이고자 하는데 있다. 각각의 연구들을 살펴보면 이러한 문제들을 해결하기 위해서 독특한 형태의 조건이 부여된 근사 곡선을 도출해 내고 있다. 이자율 기간구조의 데이터를 분석하고 이에 합당한 조건들을 제시하고 있다. 그러나 근사정도나 유연성을 조절할 수 있는 기능은 물론 이들을 측정할 수 있는 기준이 기존의 연구에는 없다. 더구나 근사 오차의 크기에 대한 기술적인 제약 장치가 없고 사용자의 의사에 따라 근사 오차를 조절 할 수는 더욱 없다. 근사 오차는 차익 거래의 기회를 제공할 수도 있기 때문에 그 크기의 조절은 매우 중요한 점이 된다. 본 논문에서는 근사 오차에 대한 상한(upper bound)의 개념을 도입하고 있다. 이자율의 추정 시에는 근사 오차의 차이가 크면 차익거래의 기회가 발생하므로, 모든 만기 점에서 실제 이자율과 근사된 값(fitted value)과의 차이의 상한이 존재해야 한다. 이 상한은 투자 전략이나 시장 상황(주로 market friction)에 따라서 달라질 수 있으므로 사용자가 지정할 수 있도록 모형이 구성되어야 한다. 상한의 값이 커지면 곡선 근사에서 허용되는 오차의 범위가 확장되는데, 이에 대한 반대급부로 곡선의 완만성이 향상되는 효과가 있다.
제 2 장에서는 이자율 기간구조의 기본 이론과 개발된 이자율 추정 모형을 살펴보고 제 모형이 갖는 문제점과 수치 해석학적인 문제점을 분석한다. 이자율의 변동이 없다는 가정하에서 현재 시장가격에서 채권을 매입해서 만기까지 보유할 때 기대되는 수익률을 만기 수익률이라 하는데, 원하는 기간의 채권이 존재하지 않는 경우에는 주어진 데이터로부터 이를 추정한다. 금융시장에 존재하는 채권의 수익률이 어떤 형태로 추정에 사용되는 가를 설명한다. 기존의 방법들은 크게 연속형 모형과 수치적 모형으로 구분된다. 연속형 모형은 변동이 크고 때로는 만기가 길면 이론적으로 잘 맞지 않는 경향이 있다. 또 현재의 시장 상황을 보면 수치적 방법을 사용해도 좋을 만큼 초기 데이터가 충분히 많다. 그러나 기존의 수치적인 방법들도 위에서 언급한 근사곡선이 가져야 할 중요한 요소들을 갖고 있지 않다. 좋은 근사 곡선을 얻기 위하여 근사에 사용되는 스플라인의 특성을 데이터의 구조에 결합시키는 과정에서 스플라인에 대한 충분한 이해가 필요하다. 제 3 장에서는 스플라인 기저 함수의 구조를 분석하여 그로부터 이자율 기간구조의 근사에 가장 적절한 형태의 집합을 정의한다. 기존의 여러 모형들이 구조에 따라 분류되고, 그 모형이 갖는 각각의 특성과 각 모형이 속하는 범주가 본 연구에서 선택한 최적의 스플라인 집합과 다름을 밝힌다. 새로운 모형을 얻기 위해서 새로 선택된 집합에서 최적근사문제(minimal interpolation problem)를 구성하여 푼다. 최적근사문제는 위에서 언급한 곡선의 완만성과 근사정도를 조합하여 만들어 진다. 여기에서 데이터 조정과정(data adjustment process)이 소개되고 채권에 관한 수익률 데이터가 이러한 조정 과정을 거쳐서 생성되면 이를 조정된 데이터라 하고 이에 대한 근사 곡선을 구한다. 제 4 장에서는 실제 문제에 적용하기 위해 3 차의 스플라인 함수로 MCSS (modified cubic smoothing spline method)를 만들어 실제의 데이터에 적용하여 근사 곡선을 구했다. 일반적인 이론은 제 3 장의 내용이 근간이 되는데, 상한의 개념은 새로 도입된 것으로 사용자가 시장 상황이나 거래 전략 등에 따라 바꿀 수 있도록 구성되어 있다. 결국 상한은 차익 거래가 발생하지 않는 범위 내에서 사용자가 지정하는 값이 되고 이 범위에 속하는 가격은 금융시장 내에서 모두 균형 가격의 의미를 갖게 된다.
