We study the dynamics of the nonlinear systems by using the stochastic differential equation. But in this study, we do not discuss the method to solve directly. We are concerned on the transformation SDE's into the partial differential equations which contain the probability distribution function. Depending on the distribution of the random variables, the type of the partial differential equation is quite different. In particular, we investigate when the case of noise is delta-correlated. This is called delta-correlated process(or white noise process). If its mean value is zero, the fourth cumulants is very important to show the nonGaussianess of the noise distribution. So the fourth cumulant plays an important part in the Kramers-Moyal expansion. The resulting partial differential equations are fourth order and we call this the generalized Fokker-Planck equation.
We also examine the random number generating method whose distribution function is nonGaussin. We extend the odd-even method for normal distribution into $Nexp (- \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}x^4)$. And we also apply the Ornstein-Uhlenbeck process to generate the colored noise with finite correlation from white one.
비선형계의 동역학을 잘 나타내주는 추계 미분 방정식은 일반적으로 직접 풀지 않고 편미분 방정식으로 바꾸어서 확률 분포 함수를 구하게 되는데, 이때 추계적인 운동을 일으키는 잡음의 종류에 따라서 편미분 방정식의 모양이 달라짐을 본 논문에서 살펴보았다. 특히, 잡음의 분포 함수가 가우스 함수인 경우와 아닌 경우로(이를 비가우스 분포 함수라 함.) 나뉘어서 고려했는데, 분포 함수의 평균이 0인 경우 이러한 비가우스성을 가장 잘 보여주는 변수가 4차 큐물런트이다. 이것이 상호 연관성이 없는 잡음의 경우에 계의 방정식에 미치는 영향을 살펴보았다.
또한, 비가우스 분포 함수 중에서 지수 함수의 인수에 4차항을 더 가지는 분포함수를 이루는 무작위 변수들을 짝수-홀수 방법에 의해 만들어 보았다. 이것을 상호 연관성이 없는 백색 잡음으로부터 상호 연관성이 지수 함수의 형태를 가지는 잡음을 오른스타인-울렌벡 프로세스로부터 만들어 낼 수 있음도 알게 되었다.
