We review Swinnerton-Dyer's paper [11], which discusses congruence relations on modular forms with integral coefficients.
Using Serre-Deligne Theorem, we can associate each modular form $f$ with $\rho_l: \mathrm{Gal}(K_l/\mathbb{Q}) \rightarrow \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}_l)$ with the property $\mathrm{Tr}(\mathrm{Frob}(p))=a_p(f)$. We define $l$ to be an exceptional prime if the image of $\rho_l$ does not contain $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}_l)$, which for $l \geq 5$ is equivalent to the image of $\rho_l$ under $\bmod$ $l$ reduction, $\overline{\rho_l}$, not containing $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_l)$.
We determine all possible images of $\overline{\rho_l}$ in $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_l)$ and obtain three types of congruence relations that may arise. Then, we develop the theory of modular forms $\bmod$ $l$. From this setting, we obtain a necessary condition for $l$ to be an exceptional prime of type 1 and 2.
This enables us to obtain a complete list of exceptional primes of type 1 and 2 for modular forms with integral coefficients. We also eliminate all but one candidate prime, 59, which may be an exceptional prime of type 3 for the unique cusp form of weight 16.
All the contents of this thesis can easily be derived from the original paper of Swinnerton-Dyer's [11], and we do not claim any originality in either mathematical or expositional aspects.
본 석사학위 논문에서는 정수 푸리에 계수를 가진 모듈러 형식에 대한 합동 관계를 연구한 스위너튼다이어의 논문 [11]을 리뷰한다.
세르와 들리뉴의 정리를 사용하여 각 모듈러 형식 $f$에 $\mathrm{Tr}(\mathrm{Frob}(p)=a_p(f)$라는 성질을 만족하는 $\rho_l: \mathrm{Gal}(K_l/\mathbb{Q}) \rightarrow \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}_l)$을 대응시킬 수 있다. 어떤 소수 $l$에 대해 $\rho_l$의 이미지가 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}_l)$를 포함하지 않거나, 혹은 $l$ 이 5 이상의 소수일 때에는 이와 동치로 $\bmod$ $l$ 표현 $\overline{\rho_l}$의 이미지와 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_l)$을 포함하지 않는 경우 $l$을 예외 소수라고 부른다.
먼저 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_l)$에서 $\overline{\rho_l}$의 가능한 모든 이미지를 결정하고, 발생할 수 있는 세 가지 유형의 합동 관계를 얻는다. 그런 다음 $\bmod$ $l$ 모듈러 형식 이론을 정립한다. 이 설정에서, 우리는 $l$이 유형 1과 2의 예외적인 소수가 되는 데 필요한 조건을 얻는다.
이를 통해 정수 푸리에 계수를 가진 모듈러 형식에 대한 유형 1과 2의 예외 소수의 전체 목록을 얻을 수 있다. 유형 3의 경우 무게 16의 유일한 첨점 형식에 대해 예외적인 소수일 수 있는 후보 소수 59를 제외하고는 나타날 수 없음을 보인다.
본 학위논문의 내용은 모두 스위너튼다이어의 논문 [11]에서 쉽게 도출될 수 있으며, 수학적인 측면이나 해설적 측면에서의 독창성을 주장하지 않는다.
