We show that an Anosov map has a geodesic axis on the curve graph of the torus. The direct corollary of our result is the stable translation length of an Anosov map on the curve graph is always a positive integer. As the proof is constructive, we also provide an algorithm to calculate the exact translation length for any given Anosov map. In the general case of surfaces, We show that a pseudo-Anosov map constructed as a product of the large power of Dehn twists of two filling curves always has a geodesic axis on the curve graph of the surface. We also obtain estimates of the stable translation length of a pseudo-Anosov map, when two filling curves are replaced by multicurves. Four main applications of our theorem are the following:: (a) to determine which word realizes the minimal translation length on the curve graph within a specific class of words, (b) to establish the effective bound on the ratio of translation lengths of an Anosov and pseudo-Anosov map on the curve graph to that on Teichmüller space and to give a new class of pseudo-Anosov optimizing ratio, (c) to estimate the overall growth of the number of Anosov maps which have a sufficient number of Anosov maps with the same translation length and (d) to give a partial answer of how much power is needed for Dehn twists to generate right-angled Artin subgroup of the mapping class group.
우린 Anosov 사상이 항상 토러스의 곡선 그래프 위에서 측지선을 축으로 보존하는 것을 보였다. 이 결과의 따름 정리로 바로 Anosov 사상의 stable 이동 거리는 항상 양의 정수임을 알 수 있다. 또한 증명에 사용한 구조적인 방식을 이용해, 이 이동 거리를 주어진 Anosov 사상에 대해 구하는 알고리즘도 얻을 수 있다. 일반적인 곡면의 경우에는, 우린 곡면을 filling 하는 두 개의 곡선들의 Dehn twist의 충분히 큰 거듭제곱 들의 곱으로 주어지는 유사-Anosov 사상이 곡면 그래프의 축으로서 보존하는 측지선을 가짐을 보였다. 또한 두 개의 곡선에서 multicurve들로 바뀐 경우에도 이동 거리의 근삿값을 찾을 수 있음을 보였다. 우리의 정리들을 통해 크게 네 개의 다음과 같은 응용이 가능하다. (a) 특정한 종류의 단어들 안에서 최소의 이동 거리를 가지는 단어를 결정하는 것, (b) Anosov 사상들의 타이히뮐로 공간에서의 이동거리와 곡선 그래프 위에서의 이동 거리의 비율의 정확한 범위를 구하는 것과 비율을 최적화하는 새로운 종류의 유사-Anosov를 제시하는 것, (C)같은 이동거리를 가지는 Anosov 사상들의 개수를 근사하는 것, 그리고 (d) Dehn twist들이 직교아틴군을 생성하기 위해 필요한 거듭제곱의 크기에 대한 부분적인 해답이다.
