Legged robotic systems have the potential to perform various maneuvers in complex and unstructured environments. However, conventional control approaches of legged robots still lag far behind compared to the motor skills of legged animals such as geckos and lizards that can agilely and robustly move on arbitrary inclined surfaces. Towards reducing the gap of motor skills between legged robotic systems and legged animals, this thesis addresses a geometry-aware constrained nonlinear model predictive control (NMPC) framework and efficient algorithms to solve the nonlinear optimization problem for agile and versatile legged locomotion in 3-dimensional space, including horizontal, vertical, and inverted surfaces.
This work first formulates the legged locomotion control problem in terms of the NMPC problem. The NMPC framework assumes a legged robot as a floating-base single rigid body with ground reaction forces applied to the body as control inputs. Specifically, the state of the body orientation is represented using a rotation matrix evolving on the 3D special orthogonal group SO(3) manifold, thereby liberating from the issues such as Gimbal lock related to Euler angles as an orientation representation. Also, the distance metric of orientation used in the NMPC problem is represented as exponential coordinates, which express the rotation error along the (shortest) geodesic path on the SO(3) manifold in a geometrically meaningful way. The underlying difficulty posed by directly using the rotation matrix (9-variable) as an optimization variable is that additional constraints (e.g., determinant and orthonormal constraints) should be imposed on the variable to enforce it lie on the SO(3) manifold. However, the additional constraints would unnecessarily increase the computation time, which hinders real-time implementation and thus affects the overall performance of the controller.
To address this issue, in this context, a well-established Lie theory is introduced into the NMPC framework; the exponential map is used as a retraction for the optimization variable evolving on the SO(3) manifold as a composition of a nominal point on SO(3) with the variations in the tangent space at that point. By doing so, the 9-element variable can be concisely represented as a 3-element variable living in Euclidean space without additional constraints. Based on that, analytic Jacobians required for constructing the gradient and Gauss-Newton Hessian approximation matrix of the cost function are derived. Having formulated the NMPC problem in terms of a constrained nonlinear least-squares problem, an efficient Gauss-Newton algorithm is introduced to enable real-time calculation of optimal solutions. In particular, fast and efficient algorithms are developed to speed up the calculation of the gradient and Gauss-Newton Hessian approximation matrix by establishing an equivalent relationship between the solution of linear quadratic optimal control and the solution of the forward dynamics problem of articulated rigid body systems.
Finally, to enable the robot to move on not only horizontal surfaces but also vertical and inverted surfaces, contact constraints such as friction and tipping over constraints, which are imperative to reliably perform agile climbing locomotion against gravity, are derived to explicitly considered in the controller for providing admissible ground reaction forces without foot slipping and tipping over. The performance of the overall framework is investigated by applying the proposed control framework to two different-sized quadrupedal hardware platforms, namely KAIST Hound and MARVEL, including agile and versatile locomotion on horizontal, vertical, and inverted surfaces.
다족보행 로봇은 복잡하고 정형화되지 않은 지형 혹은 환경에서 다양한 임무를 수행할 수 있는 잠재력을 가지고 있다. 도마뱀붙이와 같은 사지동물들은 어떠한 임의의 경사로에서도 빠르고 강인하게 이동할 수 있는 반면, 기존의 로봇 제어 방법들은 이러한 사지동물들의 뛰어난 운동기능을 실현하기에 아직 수많은 어려움이 존재한다. 이런 운동기능적 격차를 부분적으로 해소하기 위해, 이 논문에서는 로봇이 평지, 직벽 및 천장 등 3차원 환경에서의 빠르고 각종 동작을 수행하도록 하기 위한 기하학적 특성 기반의 비선형 모델 예측 제어기법 및 해당 문제를 효율적으로 계산할 수 있는 알고리즘을 제시하고자 한다.
가장 먼저 다족로봇의 보행 제어 문제를 비선형 모델 예측 제어 관점에서 접근할 수 있도록 수식화하 였다. 우선 다족로봇을 부유형 기저의 단일 강체로 가정하여 몸체에 적용되는 지면반력을 제어 입력으로 선정하였다. 특히 로봇 몸체의 3차원 회전 상태를 ‘짐벌 락’과 같은 문제를 초래하지 않고 전방위 3차원으로 고유하게 표현하기 위해, 일반적으로 사용되는 오일러 각 등의 국부 매개 변수 대신 3차원 특수직교군 SO(3) 다양체에서 정의되는 회전 행렬을 사용하였다. 또한 지수 좌표를 이용하여 SO(3) 다양체의 측지선 상에서 회전의 거리 함수를 나타냄으로써, 모델 예측 제어에 사용되는 해당 함수의 기하학적 특성을 유지하였다. 그러나 회전 행렬(9개 변수)을 최적화 변수로 직접적으로 사용하기 위해선 최적화 변수가 SO(3) 다양체에 속하도록 추가적인 제약 조건(행렬식 및 직교 제약 조건)을 부과해야 하는 문제가 존재한다. 이는 추가적인 제약 조건으로 인한 계산 시간의 불필요한 증가로 이어질 수 있으며, 나아가 제어기의 실시간성과 더불어 전반적인 성능 저하로 이어질 수 있다.
이 논문에서는 상술한 문제를 해결하기 위해 리 이론을 모델 예측 제어 알고리즘에 도입함으로써, SO(3) 다양체에 해당되는 변수들을 일반적인 최적화 기법들의 사용이 용이한 선형 벡터 공간의 변수로 변환하면 서도 기하학적 성질을 보존하였다. 이를 위해 지수 사상을 SO(3) 다양체에 대한 변형 수축으로 사용하여 회전 행렬 변수를 현재 지점에서의 접선 공간의 변분으로 나타냈고, 이를 바탕으로 비용 함수의 기울기와 가우스-뉴턴 근사 행렬을 계산하는데 필수적인 야코비 행렬을 해석적으로 유도했다. 이러한 최적화 문제의 최적해를 실시간으로 계산하기 위해 가우스-뉴턴 방법 기반의 효율적인 알고리즘을 제안하였다. 특히 선 형-이차형식 최적 제어 문제와 다관절 강체 시스템의 정동역학 문제 간의 상관관계를 접목하여, 비용함수의 기울기 및 가우스-뉴턴 근사 행렬의 계산 속도를 향상시킬 수 있는 효율적인 알고리즘을 고안하였다.
마지막으로, 다족로봇이 평지뿐만 아니라 직벽 및 천장에서도 각종 동작을 수행할 수 있도록 환경과 상호작용하는 발의 미끄러짐 및 전복에 관한 접촉 제한조건을 유도하였다. 이렇게 유도된 제약 조건을 명시적으로 최적화 문제에 부과함으로써, 로봇이 직벽 및 천장 등의 3차원 환경에서 빠르고 동적인 보행을 수행할 수 있도록 하였다. 이렇게 본 연구에서 제안한 비선형 모델 예측 제어 알고리즘의 기능성 및 유효성을 KAIST Hound와 MARVEL이라는 다른 형태의 사족 보행 하드웨어 플랫폼에서 실험적으로 검증하였다.
