In structural dynamics, frequency response is a steady-state solution of systems under harmonic force, providing crucial information about vibration characteristics. Traditionally, numerical simulation of the frequency response has been mainly conducted based on deterministic and linearity assumptions, and the finite element method (FEM) has been widely applied for spatial discretization. However, despite the remarkable advances in computer and simulation technologies, still difficult challenges in predicting actual responses are that many structural systems are subjected to various uncertainty and nonlinearity. When integrating these two properties into the frequency response analysis, multi-dimensional problems allowing additional dimensions as well as the existing spatial degrees of freedom (DOFs) and frequency are formulated. In these cases, the total dimension is a tensor product of each dimension, and computational cost can easily become intractable for high-dimensional problems due to the curse of dimensionality. The objective of this study is to develop an accurate and computationally efficient algorithm for multi-dimensional frequency response problems by utilizing the proper generalized decomposition (PGD). PGD relies on the concept of separation of variables, and the solutions of the governing equations are approximated as a low-rank separated representation. The progressive Galerkin approach is adopted to formulate subproblems defined in each dimension. Fixed-point iteration is then applied by solving subproblems in which other variables are fixed, and the update problem is additionally considered to improve the accuracy of the PGD approximation. In the case of stochastic FEM, the numerical model is characterized by random variables, and two strategies are proposed depending on the approximation of the stochastic space. The first one is based on the Padé approximant. Although the polynomial chaos (PC) basis, which utilizes orthogonal polynomials for random variables, is most widely used in the field of uncertainty quantification, it cannot reflect the non-smooth behavior of the frequency response around the resonance region and yields inaccurate results. To tackle this issue, this study first constructs the solution as a separated representation of spatial modes and stochastic coefficients expanded by PC basis. The Padé approximant is applied based on the PGD solution to reflect the non-smooth behavior, and the frequency response is finally represented as a surrogate model in the form of a rational function. Second, the collocation technique is used to discretize the dimensions of uncertainty and frequency. Unlike the PC basis, which is a global function for random variables, the collocation technique defines values only at collocation points due to the Dirac delta property. In the offline stage, PGD represents the solution as a low-rank sum of spatial modes and parametric functions. The spatial dimension is related to the DOFs discretized by the finite elements, and parametric functions for frequency and random variables are defined at the collocation points. The online stage utilizes the spatial modes computed at the offline stage as a reduced-order basis and generates a reduced-order model through Galerkin projection into a low-dimensional subspace. For both two approaches, the solutions for any random variables are then easily evaluated by solving the surrogate or reduced-order models, and the response statistics are estimated based on the Monte-Carlo simulation. In the case of nonlinearity, the harmonic balance method (HBM) approximates nonlinear frequency response utilizing a truncated Fourier series, resulting in a set of nonlinear algebraic equations formulated in the frequency domain. In this case, dimensions for the Fourier series are considered in addition to spatial degrees of freedom and frequency. PGD exploits the low-dimensional subspace of the HBM and constructs the solution by a separated representation of the spatial and harmonic components. During the continuation, the spatial modes acquired at the previous computation are utilized as a reduced-order basis. The numerical studies demonstrate that the proposed frameworks not only allow significant computational savings compared to the conventional methods, but also accurately reflect the complex stochastic and nonlinear behavior without prior information on the response characteristics.
구조동역학에서 주파수 응답은 조화 하중을 받는 시스템의 정상 상태 응답이며, 진동 특성에 대한 중요한 정보를 제공한다. 전통적으로 저주파 영역에서 주파수 응답의 수치 해석은 주로 결정론적 및 선형성 가정을 기반으로 수행되었으며, 유한요소법(finite element method, FEM)이 공간 이산화에 널리 적용되었다. 하지만 컴퓨터 및 수치해석 기술의 발전에도 불구하고, 실제 응답을 예측하는 데 있어 여전히 어려운 점은 많은 구조 시스템이 다양한 불확실성(uncertainty) 및 비선형성 (nonlinearity)에 영향을 받는다는 것이다. 이 두 속성을 주파수 응답 해석에 통합하는 과정에서, 기존 공간 자유도(degrees of freedom, DOFs) 및 주파수 외에 추가 차원을 가지는 다차원 문제(multi-dimensional problem)가 공식화된다. 이때 전체 차원은 각 차원의 텐서 곱 (tensor product)이며, 고차원 문제의 경우 소위 차원의 저주(curse of dimensionality)로 인해 연산 비용이 비약적으로 증가할 수 있다. 본 연구는 이러한 문제를 극복하기 위해 proper generalized decomposition (PGD) 기법을 적용, 다차원 주파수 응답 문제에 대한 정확하고 효율적인 알고리즘을 개발하는 것을 목표로 한다. PGD는 변수분리(separation of variables)의 개념에 기반한 기법으로, 다차원 지배방정식의 해를 저차의 분리된 표현(low-rank separated representation)으로 근사한다. Progressive Galerkin 방식이 각 차원에 대한 하위 문제를 정의하기 위해 적용되었으며, 하위 문제들에 대한 고정 소수점 반복 및 업데이트 문제가 해결된다. 추계론적 유한요소법에서(stochastic FEM) 수치해석 모델은 확률 변수(random variable)에 의해 매개변수화 되며, 확률 응답 공간에 대한 차원이 추가로 부여된다. 본 연구는 확률 응답 공간의 근사에 따른 두 가지 방법을 제안하였다. 첫 번째는 확률 변수에 대한 유리함수 (rational function) 형태의 파데 근사 (Padé approximant)이다. 비록 확률 변수에 대한 직교 다항식을 활용하는 polynomial chaos (PC)가 불확실성 정량화(uncertainty quantification)분야에 가장 널리 적용되었지만, 공진 영역 근처에서 주파수 응답 함수의 non-smooth 특성을 반영하지 못하며 부정확한 결과가 발생한다. 본 연구는 이를 해결하기 위해, 먼저 공간벡터와 PC 기저들로 전개된 계수의 분리된 표현으로 주파수 응답 문제의 해를 구성한다. 다음으로, 공진 영역 근처의 거동을 반영하기 위해 파데 근사가 PGD 해를 기반으로 적용되며, 유리함수 형태의 대리 모델로 (surrogate model)로 주파수 응답을 최종 근사한다. 두 번째로 collocation 기법이 확률 변수 및 주파수에 해당하는 차원을 이산화하기 위해 적용되었다. 확률 변수에 대해 전역적인 값을 가지는 PC 기저들과 달리, collocation 기법은 Dirac-delta 성질에 의해 collocation points에서만 값을 정의한다. Offline 단계에서, PGD는 공간 모드와 주파수 및 확률 변수에 대한 파라메트릭 성분의 저차 근사로 해를 구성한다. 이때 공간 모드의 차원은 유한요소 자유도와 관련이 있으며, 확률 변수 및 주파수에 대한 파라메트릭 성분은 collocation points에서 정의된다. Online 단계는 offline 단계에서 계산된 공간 모드를 축소 기저(reduced-order basis)로 활용하며, 저차 부분 공간(low-dimensional subspace)으로의 투영(projection)을 통해 차수 축소 모델을 생성한다. 두 가지 접근법 모두 새 매개변수에 대한 해는 대리 및 축소 모델들을 통해 평가되며, 응답의 통계적 특성은 Monte Carlo simulation (MCS) 기반으로 추정된다. 비선형성의 존재하는 경우 기존의 harmonic balance method (HBM)은 Fourier series를 사용하여 비선형 주파수 응답을 근사하며, 주파수 영역에서 공식화된 비선형 연립방정식을 해결한다. 이 과정에서 Fourier series 근사에 대한 차원이 공간 자유도 외에 부여가 된다. 본 연구는 PGD를 통해 HBM의 응답의 저차 부분 공간을 활용하며, 공간 모드 및 조화 성분의 분리된 표현으로 비선형 응답을 근사한다. 주파수를 변경하며 응답을 계산하는 numerical continuation 과정에서, 이전 주파수에서 획득한 공간 모드는 축소 기저로 다음 계산에 활용된다. 본 논문에서 제안된 방법들은 다양한 수치해석 예제들을 통해 검증되었다. 수치해석 결과는 제안된 방법이 응답 특성에 대한 사전 지식 없이 확률론적 및 비선형 거동을 정확도 높게 반영할 뿐만 아니라, 상당한 계산 비용을 절감함을 입증하였다.
