In most advanced nodal methods the transverse integration is commonly used to reduce the multi-dimensional diffusion equation into equivalent one- dimensional diffusion equations when derving the nodal coupling equations. But the use of the transverse integration results in some limitations. The first limitation is that the transverse leakage term which appears in the transverse integration procedure must be appropriately approximated. The second limitation is that the one-dimensional flux shapes in each spatial direction resulted from the nodal calculation are not accurate enough to be directly used in reconstructing the pinwise flux distributions. Finally the transverse leakage defined for a non-rectangular node such as a hexagonal node or a triangular node is too complicated to be easily handled and may contain non-physical singular terms of step-function and delta-function types.
In this thesis, the Analytic Function Expansion Nodal (AFEN) method and its two variations : the Polynomial Expansion Nodal (PEN) method and the hybrid of the AFEN and PEN methods, have been developed to overcome the limitations of the transverse integration procedure. All of the methods solve the multidimensional diffusion equation without the transverse integration.
The AFEN method which we believe is the major contribution of this study to the reactor core analysis expands the homogeneous flux distributions within a node in non-separable analytic basis functions satisfying the neutron diffusion equations at any point of the node and expresses the coefficients of the flux expansion in terms of the nodal unknowns which comprise a node-average flux, node-interface fluxes, and corner-point fluxes. Then, the nodal coupling equations composed of the neutron balance equations, the interface current continuity equations, and the corner-point leakage balance equations are solved iteratively to determine all the nodal unknowns.
Since the AFEN method does not use the transverse integration in deriving the nodal coupling equations, it does not suffer from the limitations caused by the transverse integration, such as the need of transverse leakage approximation and the singularity arising in non-rectangular node geometries. And because of the use of analytic basis functions, the method accurately models large localized flux gradients in the vicinity of nodal corner points as well as nodal interfaces.
To demonstrate its accuracy and applicability to realistic problems, the AFEN method was tested to several benchmark problems in both the rectangular and the hexagonal geometry, including MOX fuel problems, and the initial core of Ulchin Unit 1. The results show that the AFEN method significantly improves the accuracy in the nodal flux distribution and the core multiplication factor compared to the nodal methods which use the transverse integration. The method also facilitates pinwise flux reconstruction since the homogeneous flux distributions obtained from the nodal calculation are very accurate and can be used directly in the reconstruction.
Encouraged by the success of the AFEN method, we also developed two other nodal methods in this study, which can be classified as variations of the AFEN method. The first one is the Polynomial Expansion Nodal (PEN) method. This method retains all the features of the AFEN method except expanding the intranodal flux distribution into a nonseparable high-order polynomial instead of the analytic function. The results of benchmark problems indicate mixed performance of the method. For the conventional light water reactor cores loaded with the conventional $UO_2$ fuel assembly, the performance of the method is similar to that of the AFEN method, but for the reactor cores loaded with the MOX fuel assemblies, the PEN method is poorer than the AFEN method. The poor performance of the PEN method for the MOX fuel loaded cores is due to the fact that the polynomial is less accurate for the representation of the intranodal flux distribution than the analytic function.
The second variation of the AFEN method we developed is the AFEN/PEN hybrid method. This method is designed especially for the multigroup reactor analysis. This hybrid method solves the diffusion equations for the fast energy groups by the PEN method, and those for the thermal energy groups by the AFEN method. This method is based on the observation that the fast group neutron flux distributions are generally so smooth that they can be approximated by a high-order polynomial and that, on the other hand, the thermal fluxes require the analytic function expansion for the representation of their strong gradients near the interface between assemblies having different neutronic properties. The results of benchmark problems on which this method was tested indicate that performance of the hybrid method is much better than that of the PEN method and is nearly the same to that of the AFEN method.
In order for the AFEN method and its variations to be used in analyzing the neutron behavior in an actual reactor core, we also developed a new burnup correction model to reduce the errors in nodal flux distributions induced by the intranodal burnup gradients. It is essential for the nodal methods to maintain their accuracy in fuel depletion analysis. The burnup correction model developed in this study homogenizes equivalently the node with the burnup-induced cross section variations into the homogeneous node with the equivalent parameters such as the flux-volume-weighted constant cross sections and the discontinuity factors. The results of a benchmark problem show that this model eliminates almost all the errors in the nodal unknowns which are induced by the intranodal burnup gradients.
일반적으로 널리 쓰이고 있는 현대적 노달 방법은, 노드간 연관식을 유도할 때 다차원 중성자 확산 방정식을 몇 개의 등가인 일차원 확산 방정식 으로 만들기 위해 횡방향 적분 방법을 이용한다. 하지만 횡방향 적분을 이용하면 명 가지 제약이 따른다. 첫 번째 제약은 횡방향 적분에서 생기는 횡방향 누출 항을 적절히 근사하여야 한다는 것이고 두번째 제약은 노달 계산 결과로 나온 각 방향의 일차원 중성자 분포가 연료봉별 중성자속 재구성 계산에 바로 사용할 수 있을 만큼 정확하지 않다는 것이다. 또 육각형 노드나 삼각형 노드와 같이 비정방형 노드에 대하여 정의되는 횡방향 누출 항은 너무 복잡하여서 쉽게 취급할 수가 없을 뿐만 아니라 계단 함수나 델타 함수와 같은 특이항을 포함한다.
본 논문에서는 횡방향 적분의 제약을 피하기 위해 해석함수전개 노달방법 (Analytic Function Expansion Nodal Method)과 이 방법의 변형으로 볼 수 있는 다항식전개 노달방법 (Polynomial Expansion Nodal Method) 및 해석함수전개와 다항식전개를 혼합한 노달방법등 세 가지 노달법을 개발하였다. 이들 방법은 전부 횡방향 적분을 하지 않고 다차원 중성자 확산 방정식을 직접 푼다.
특히 이들 중 원자로심 해석에 이 논문이 기여한 핵심 방법이라 할 수 있는 해석함수전개 노달방법은 사각형 및 육각형 구조에서 노드내의 균질화된 중성자속 분포를 그 노드의 어떤 점에서도 중성자 확산방정식을 만족하는 비분리 해석 함수로 전개한다. 이 해석함수의 계수는 이 방법에서 미지수로 취급하는 그 노드의 평균 중성자속, 경계면 중성자속 및 격자점 중성자속으로 표현한다. 그런 다음 노드의 평균 중성자속을 풀기 위한 중성자속 균형식, 경계면 중성자속을 풀기 위한 인근 노드와의 경계면에서 중성자류 연속 조건식 및 격자점 중성자속을 풀기 위한 격자점 중성자 균형식을 만들어 이 세 종류의 식을 반복적으로 푼다.
이 방법은 노드간 연관식을 유도할 때 횡방향 적분을 사용하지 않기 때문에 횡방향 적분으로부터 파생되는 제약, 즉 횡방향 누출항을 근사해야 하는 것과 비정방형 노드에서의 특이항을 갖는 것과 같은 제약을 갖지 않는다. 또 이 방법은 해석 함수를 사용하므로 핵특성이 아주 다른 집합체의 경계면에서 뿐만 아니라 격자점 근처에서 일어나는 국부적인 급격한 열중성자속 변화도 정확히 모사한다.
실제 문제에 대한 적용 가능성과 정확도를 보이기 위해, 새로운 노달방법으로 사각형 및 육각형 구조에서 혼합핵연료 사용 노심 문제와 울진 1호기 초기 노심 문제를 포함하는 몇 가지의 잘 알려진 검증 문제를 풀었다. 그 결과 이 방법이 횡방향 적분을 사용하는 기존방법에 비해 노심내의 중성자속 분포와 유효증배계수를 예측하는 정확도를 상당히 개선하는 것으로 나타났다. 또 이 방법으로 계산된 노드내의 균질화된 중성자 분포는 대단히 정확하여서 바로 연료봉별 비균질 중성자속 재구성에 사용될 수 있는 것으로 나타났다.
한편 이 논문에서는 또 해석함수전개 노달법의 정확도에 힘입어 해석함수전개법의 변형으로 분류될 수 있는 두 가지 노달방법을 더 개발하였다. 그 첫 번째는 다항식전개 노달방법인데 이 방법은 노드내의 중성자 분포를 해석함수 대신에 다항식으로 전개하는 것 외에는 해석함수전개 노달방법의 일반적인 특성을 그대로 따른다. 일반적으로 다항식은 미분 및 적분이 단순하고 전개항의 축소나 확장이 자유롭다. 이 방법은 통상적인 이산화 우라늄 연료만을 장전한 경수로 노심에서는 정확하게 중성자속을 예측하는 것으로 나타났다. 하지만 이 방법은 보통 다항식이 노드내의 중성자속 분포를 표현하는 데 해석함수보다 덜 정확하므로 혼합 핵연료 집합체와 같이 핵특성이 아주 다른 핵연료 집합체가 노심내에 혼재할 때에는 다른 종류의 집합체 경계에서 생기는 열중성자의 변화를 잘 추적하지 못하기 때문에 해석함수전개 노달법에 비해 정확도가 떨어진다.
또 다른 해석함수 전개법의 변형은 해석함수전개 및 다항식전개 노달방법을 결합한 것인데 이 방법은 특별히 다군 확산계산을 위하여 개발되었다. 해석함수전개 노달법은 다군으로 확장할 때 복소수 고유치가 개입되어 계산이 한층 복잡해진다. 반면에 이 방법은 그런 단점을 겪지 않는다. 이 방법은 고속 에너지 군에 속하는 중성자 분포는 다항식 전개 노달법으로 계산하고 열 중성자군에 속하는 중성자 분포는 해석함수전개 노달법으로 계산한다. 이는 고속 에너지 중성자속은 상대적으로 변화가 완만하여 다항식으로도 잘 표현되지만 열중성자속은 변화가 급격하여 해석함수로 표현하는 것이 필요하다는 사실을 이용한 것이다. 이 방법의 정확도는 실제로 해석함수전개 노달법과 유사하여 다군 중성자 확산계산에 널리 쓰일수 있는 것으로 나타났다.
노달방법을 실제 노심계산에 활용하기 위하여서는 노드내 연소도 분포에 의한 오차를 수정하는 모형이 필수적으로 추가되어야 한다. 본 논문에서 개발한 해석함수전개 노달방법과 그의 변형 노달방법들이 실제의 원자로심 해석에 사용할 수 있도록 하기 위해 노드내 연소도 분포에 의한 오차를 수정하는 모형을 개발하여 이 노달방법에 이식하였다. 이 연소도 분포 수정 모델은 연소도나 출력궤환에 의해 단면적 분포를 갖는 노드를 등가이론에 따라 노드내 중성자속을 4차의 다항식으로 전개하여 풀어서 분포를 갖지 않는 유효단면적을 같은 노드로 균질화한다. 이 새로운 방법을 이식하여 해석함수전개 노달계산을 수행 하면 노드내의 단면적 분포로 야기되는 노달계산 오차를 거의 대부분 제거하는 것으로 나타났다.
