Over the past few decades, time-asymptotic stability of the solution to the Cauchy problem for the one- dimensional compressible barotropic Navier-Stokes equations has been studied in relation to the Riemann problem for the Euler equation. In this paper, we prove the time-asymptotic stability of composite wave of two viscous shock waves for the Navier-Stokes equations when the Riemann solution of the Euler equation is given as composition waves of two shock waves. The large time behavior of the Navier Stokes equation for composite waves of two viscous shock waves is left as the last problem after Kang, Vasseur, and Wang showed the large time behavior of Navier-Stokes equations for the composite waves of viscous shock waves and rarefaction waves in [7]. Our results solve the time asymptotic stability problem of compressible Navier-Stokes equations. Our method relies on a-contraction methods with shifts developed by Kang and Vasseur [4]. The biggest challenge in dealing with the composition of two shock waves is to control them as a single diffusion term. To overcome this difficulty, we introduce a localization function to successfully segment the diffusion term to control each shock wave and use its careful analysis.
지난 수십 년 동안 1차원 순압 압축성 나비에-스토크스 방정식에 대한 초기값 문제의 해의 시간 점근 안정 성이 오일러 방정식의 리만 문제와 연관되어서 연구되어왔다. 본 논문에서는 우리는 오일러 방정식의 리만 솔루션이 두 개의 충격파의 합성으로 주어질 때, 나비에-스토크스 방정에 대한 두 개의 점성 충격 합성파의 시간 점근적 안정성을 증명한다. 두 개의 점성 충격파의 합성파에 대한 나비에 스토크스 방정식의 큰 시간 거동은 Kang, Vasseur, 그리고 Wang 이 [7]에서 점성 충격파와 희귀파의 합성파에 대한 나비의 스토크스 방정식의 큰 시간 거동을 보인 후 남겨진 마지막 문제로 남아 있었고, 우리의 결과는 압축 가능한 나비에-스 토크스 방정식의 시간 점근 안정성 문제를 해결한다. 우리의 방법은 Kang과 Vasseur가 [4] 개발한 시프트를 가진a-수축방법에의존한다. 두충격파의구성을다루는데있어가장큰어려움은이들을단일확산항으로 제어하는 것이다. 이러한 어려움을 극복하기 위해, 우리는 각 충격파를 제어하기 위해 확산 항을 성공적으로 분할하기 위해 국소화 함수를 도입하고 확산 항을 세밀히 분석한다.
