Cappell and Shaneson constructed a family of homotopy 4-spheres in 1976, and some of them are double covers of an exotic $\mathbb{R}P^4$. They are well-known potential counterexamples for the 4-dimensional smooth Poincaré conjecture. The manifolds are parametrized by a matrix $A\in SL(\mathbb{Z}, 3)$ such that $\det (I-A)=-1$, and $\epsilon\in\mathbb{Z}_2$, which represents a framing of gluing map of $S^2\times D^2$. In this paper, we focus on $\Sigma_m^{\epsilon}$ constructed by smaller family $A_m$ depending only on an integer $m$. In fact, every $A_m^\epsilon$ turns out to be diffeomorphic to the standard sphere $S^4$. This paper is based on papers of Cappell, Shaneson, Akbulut, Kirby, Aitchison, Rubinstein, and Gompf, and follows the proofs in historical order as a survey paper with no author's own result. For the proof of Gompf, in particular, we give more details with handle calculus and isotopy.
1976년, Cappell과 Shaneson은 새로운 호모토피 4차원 구를 제시했다. 그것들 중 일부는 이국적 $\mathbb{R}P^4$의 이중 피복 공간이었기 때문에, 4차원 미분다양체에 대한 푸엥카레 추측의 잠재적인 반례가 될 수 있었다. 그러한 다양체들은 $\det(I-A)=-1$이라는 조건을 만족시키는 행렬 $A\in SL(3,\mathbb{Z})$와, $S^2\times D^2$의 경계를 붙이는 함수의 꼬임을 나타내는 $\epsilon\in \mathbb{Z}_2$으로 결정된다. 본 논문은 위의 성질을 만족하는 행렬들 중 정수 $m$에 의존하는 특정 행렬 $A_m$을 사용하여 구성한 호모토피 구 $\Sigma_m^\epsilon$를 집중적으로 다룬다. 실제로 이러한 $\Sigma_m^\epsilon$는 모두 표준 4차원 구와 미분동형임이 밝혀졌다. 본 논문은 리뷰 논문으로써 새로운 연구 결과를 주장하기보다는 Cappell, Shaneson, Akbulut, Kirby, Aitchison, Rubinstein, Gompf 등의 논문들에 기반하여 그 증명을 역사적 순서로 따라가며, 특히 Gompf의 증명에 대해서는 디테일을 제공하고자 하였다.
