We study the transport properties of the Gibbs and Gaussian measures on functions/distributions under the flow of Hamiltonian PDEs. In Chapter 2 and 3, we consider the quasi-invariance of the Gaussian measures on Sobolev spaces under the dynamics of the cubic fractional nonlinear Schrodinger equation. For the case of second-order dispersion or greater, we establish an optimal regularity result for the quasi-invariance of these Gaussian measures. Moreover, we obtain an explicit formula for the Radon-Nikodym derivative. In particular, as for the case of fourth-order dispersion, we extend the quasi-invariance results to Sobolev spaces of negative regularity. In Chapter 4, we study focusing Gibbs measures with log-correlated base Gaussian fields on the d-dimensional torus. Using the variational formulation, we prove the non-normalizability of the Gibbs measure with a quartic interaction. We also present the construction of the focusing Gibbs measure with a cubic interaction and non-normalizability of the Gibbs measure for the two-dimensional Zakharov system. In Chapter 5, we consider the Gibbs dynamics for the Zakharov-Yukawa system on the two-dimensional torus T2, namely a Schrodinger-wave system with a Zakharov-type coupling. We construct the Gibbs measure in the weakly nonlinear coupling case and study the invariance of the Gibbs measure under the resulting dynamics.
이 논문에서는 깁스 그리고 가우시안 측도들의 해밀토니안 편미분 방정식들의 흐름에 따른 운송 성질들에 대해 알아본다. 본 논문의 2, 3장 에서는 슈뢰딩거 방정식의 흐름 하에서 가우시안 측도들의 준 불변성에 대해서 살펴본다. 확산 관계가 2차 보다 크거나 같을 경우, 우리는 가우시안 측도들의 준 불병성에 대한 최적 정칙성 결과를 설립하고 운송된 가우시안 측도의 라돈 니코디옴 도함수를 얻어낸다. 특별히 확산 관계가 4차인 경우에 대해서는 가우시안 측도의 준 불변성 결과를 음의 정칙성을 가지는 소볼레브 공간으로 확장한다. 본 논문의 4장에서는 d차원 토러스 위에서 로그 상관 관계를 가지는 가우시안 측도를 기저로 하는 포커싱 깁스 측도에 대해서 공부한다. 변분 공식화를 사용함으로서 4차 상호작용과 함께하는 포커싱 깁스 측도가 확률 측도가 될 수 없음 (비정규화)을 증명한다. 우리는 또한 3차 상호작용과 함께하는 포커싱 깁스 측도의 건설과 2차원 자카로프 시스템 깁스 측도의 비정규화를 증명한다. 본 논문의 5장에서는 2차원 토러스 위에 있는 자카로프-유카와 시스템 (자카로프 커플링과 함께하는 슈뢰딩거-파동 방정식 시스템)에 대한 깁스 측도를 건설하고 시스템의 흐름 하에서 깁스 측도의 불변성을 증명한다.
