Let $S$ be a surface of finite type and $\Mod(S)$ be its mapping class group. For a mapping class $f \in \Mod(S)$, we can consider its action on $H_1(S;\Z)$. Broadly speaking, we study the interaction between the dimension of the fixed subspace of this action, denoted by $\kappa(f)$, and other properties of $f$. More precisely, we first consider the notion of Torelli groups of subsurfaces introduced by Putman and we compute bounds for their cohomological dimensions and their minimal asymptotic translation lengths on the curve graph of the surface. We then turn our attention to the study of the relation between the entropy of a pseudo-Anosov map $f$ and the quantity $\kappa(f)$. This has been studied by Agol-Leininger-Margalit for closed surfaces and we partially generalize their work to punctured surfaces.
S를 유한 종류 곡면이라 하고 $\Mod(S)$를 그 사상류 군이라고 하자. 사상류 $f \in \Mod(S)$가 주어졌을 때 $H_1(S;\Z)$에 대한 f의 작용을 생각할 수 있다. 개괄하자면, 이 작용이 보존하는 고정 부분공간의 차원 $\kappa(f)$와 f의 다른 성질 간의 상호작용을 탐구하는 것이 본 논문의 목표이다. 상세하게는, Putman이 제시한 개념인 부분곡면들의 Torelli 군들을 생각하여, 그들의 코호몰로지 차원(cohomological dimension) 및 곡면의 곡선 그래프(curve graph)에서의 극소 점근 이동 거리(minimal asymptotic translation length)에 대한 상계를 계산한다. 그후 유사-Anosov 사상(pseudo-Anosov map) f와 $\kappa(f)$라는 값 사이 관계를 관찰하는 것으로 주제를 옮긴다. 이는 닫힌 곡면에 대해서는 Agol-Leininger-Margalit이 탐구한 것으로, 본 논문에서는 이를 부분적으로 구멍 뚫린 곡면의 경우까지 확장한다.
