We consider the normalized adjacency matrix $H$ of Erd\H{o}s-R\'{e}nyi graphs $\mathcal{G}(N,p)$ and assume $N^{\epsilon} < pN < N^{1-\epsilon}$. When $pN < N^{1/3-\epsilon}$, it was recently shown that leading order fluctuations of extreme eigenvalues of $H$ are given by a single random variable associated with the total degree of the graph (Huang-Landon-Yau, 2020; He-Knowles, 2021). We construct a sequence of random correction terms to capture higher (sub-leading) order fluctuations of extreme eigenvalues of $H$. Using these random correction terms, we prove a local law up to a (randomly) shifted edge and recover the rigidity of extreme eigenvalues under some random corrections in the sparse regime $pN > N^{\epsilon}$.
In another direction, we investigate the noise sensitivity of the top eigenvector of $H$. Let $v$ be the top eigenvector of $H$. We resample $k$ uniformly randomly chosen entries of the matrix and obtain another realization of the random matrix with top eigenvector $v^{[k]}$. Building on recent results on sparse random matrices and a noise sensitivity analysis previously developed for Wigner matrices, we prove that, if $pN\geq N^{2/9}$, with high probability, when $k \ll N^{5/3}$, the vectors $v$ and $v^{[k]}$ are almost collinear and, on the contrary, when $k\gg N^{5/3}$, the vectors $v$ and $v^{[k]}$ are almost orthogonal.
본 논문에서는 정규화된 에르되시-레니 그래프의 스펙트럼과 관련 문제들에 관해 연구하였다. 특히 그래프 위 각 변의 존재 확률이 매우 낮아, 희소 랜덤 행렬의 한 형태로 표현될 수 있는 경우를 주로 다루었다. 정규화된 에르되시-레니 그래프의 최대 고윳값에 대해 알려진 최근 결과들을 확장하여, 최대 고윳값의 예상 위치를 확률적으로 기술하였다. 또한 최대 고윳값에 대응하는 최대 고유 벡터에 관한 연구도 진행하였다. 주어진 에르되시-레니 그래프의 각 변 중 몇 개를 임의로 골라 새롭게 샘플링할 때, 최대 고유 벡터가 어떻게 변화하는지 그 양상에 관해 기술하였다.
