In reality, when the environment is heterogeneous, the particles do not diffuse uniformly. Many researchers have continued to try to explain this heterogeneous diffusion. However, previous diffusion equations do not fully explain actual diffusion. In this study, we derived a new diffusion equation by taking the diffusive limit from the discrete velocity kinetic model. In this diffusion equation, the diffusion constant is expressed as a physical quantity and explains the existing diffusion phenomena well. In this paper, we presented a useful energy functional in the discrete velocity kinetic model and a method to induce strong convergence in heterogeneous situations using the Div-curl lemma.
The traveling wave in reaction-diffusion equations has been extensively studied over the past few decades. In particular, when the reaction term is multistable, there is a peculiar wave phenomenon called propagating terrace. However, when the reaction term is Lipschitz continuous, the propagating terrace cannot be defined as a solution of the reaction-diffusion equation. In this study, the terrace solution was defined considering the discontinuous and multistable reaction term. We showed the existence, uniqueness, and stability of the terrace solution.
현실에서 환경이 불균질할 때, 입자들은 균일하게 확산하지 않는다. 과거로부터 많은 연구자가 이런 불균질 확산을 설명하기 위해 노력해왔다. 그러나 이전의 확산 방정식들은 실제 확산 현상을 제대로 설명하지 못했다. 본 연구에서는 우리는 discrete velocity kinetic model에서 확산 극한을 취하여 새로운 확산 방정식을 유도했다. 이 확산 방정식은 확산 상수가 물리량으로 표현되어 있고 기존의 확산 현상을 잘 설명한다. 본 논문에서 우리는 discrete velocity kinetic model에서 유용한 energy functional을 제시하고 불균질 상황에서 Div-curl lemma를 이용하여 강한 수렴을 보이는 방법을 제안한다.
지난 수십 년간 반응-확산 방정식에서 traveling wave는 광범위하게 연구되어 왔다. 특히 반응 텀이 multistable한 경우에 propagating terrace라 불리는 특이한 파동 현상이 있다. 하지만 반응 텀이 Lipschitz 연속인 경우에 propagating terrace는 반응-확산 방정식의 해로써 정의될 수 없다. 본 연구에서는 불연속하고 multistable한 반응 텀을 고려하여 terrace solution을 정의하였다. 우리는 terrace solution의 존재성, 유일성, 그리고 안정성을 보였다.
