In this thesis we consider reaction diffusion equations with diffusivity depends on the solution and several limit problems related to scaling.
In Chapter 2 we consider an Allen-Cahn equation with nonlinear diffusivity. Given density dependent diffusion function $\varphi$ and a bistable reaction term $f$ satisfying certain conditions, the solution of the Allen-Cahn equation generates a steep transition layer within a short time. And after the generation, the transition layer propagates with speed proportional to the mean curvature of the layer times a constant which depends on $\varphi$ and $f$.
In Chapter 3 we consider similar equation in Chapter 2, but adding a stochastic perturbation in time. This time, generated interface propagates with speed which depends not only on the mean curvature but also on the stochastic perturbation.
In Chapter 4 and 5 we consider the biological invasion in heterogeneous environment. To this purpose, we consider a hyperbolic singular limit problem of reaction diffusion equation with porous medium diffusivity and logistic reaction term. Unlike homogeneous environment, where the invasion speed is constant, the invasion speed depends on the heterogeneous environment and the power of the porous medium diffusion.
이 논문에서는 타원과 쌍곡선형의 특이 극한 문제를 다루었다.
2장에서는 비선형 확산 Allen-Cahn 방정식을 다룬다. 특정한 조건을 만족하는 비선형 확산 함수 $\varphi$와 bistable 반응 함수 $f$에 대하여, Allen-Cahn 방정식의 해는 짧은 시간 안에 급격한 상전이 층이 생성된다. 이후, 상전이 층은 평균 곡률과 $\varphi, f$에 영향을 받는 상수의 곱에 비례하는 속도로 전파한다.
3장에서는 2장에서 언급한 방정식에 확률적인 변화를 추가하여 다루었다. 이러한 경우, 상전이 층의 전파 속도는 평균 곡률뿐만이 아니라 확률적인 변화에도 영향을 받는다.
4장과 5장에서는 공간상 불균질한 환경에서의 생물학적 침입을 다룬다. 이를 위하여 다공성 물질 확산과 logistic 반응을 고려한 쌍곡선형 특이 극한 반응-확산 방정식을 다룬다. 칩입 속도가 상수인 균질한 환경과는 달리, 침입 속도는 불균등한 환경과 다공송 물질 확산의 차수에 영향을 받는다.
