When a vector bundle $E$ on an algebraic curve is stable, every symmetric power $S^k E$ is known to be stable for sufficiently general $E$. This thesis deals with the question of which $E$ has not stable $S^k E$ in the case where $E$ has rank $2$. As an answer to the question, it is shown that if $S^k E$ is not stable, then $S^m E$ is not stable for some $m=2$, $3$, $4$ or $6$, and moreover, it is shown that if $S^k E$ is not stable, then $S^l E$ is destabilized by a line subbundle for some $l\geq k$. So the stability of $S^k E$ can be rephrased by the existence of a curve with zero self-intersection number on the ruled surface $\mathbb{P}_C(E)$ associated to $E$, and as its corollary, it is shown that every symmetric power $S^k E$ is stable for general $E$. That is, when $E$ has rank $2$, it is possible to remove the 'sufficiently' assumption in the known result. Also, this thesis treats a classification of $E$ in the case of $k=2$ and $3$. When $k=2$, as $E$ with $S^2 E$ being not stable is a vector bundle with orthogonal structure, a relation between known descriptions are investigated, and when $k=3$, it is shown that there exists $E$ with stable $S^2 E$ but not stable $S^3 E$ (when the genus of curve is larger than or equal to $2$). Lastly, this thesis shows that if $S^2 E$ is stable but $S^k E$ is not stable for some $k>2$, then $E$ with trivial determinant is trivialized over an unramified finite covering of given curve. This thesis is based on a paper by the author published in International Journal of Mathematics, and it generalizes the result by removing the assumption on the degree of $E$.
대수 곡선 위의 벡터 번들 $E$가 안정적일 때, 충분히 대부분의 경우, 모든 대칭 거듭제곱 $S^kE$가 안정적임이 알려져있다. 이 논문에서는 $E$의 차수가 $2$인 경우, 어떤 $E$가 안정적이지 않은 거듭제곱 $S^k E$을 가지느냐는 물음을 다루었다. 본 물음에 대한 답으로써, $S^k E$가 안정적이지 않다면, 어떤 $m=2$, $3$, $4$ 또는 $6$에 대하여 $S^m E$가 안정적이지 않음을 보였으며, 더욱이 $S^k E$가 안정적이지 않다면, 어떤 $l\geq k$에 대하여 $S^l E$가 라인 번들에 의해 안정적이지 않게 됨을 보였다. 이에 $S^k E$의 안정성을 $E$로 정의되는 선직면 $\mathbb{P}_C(E)$ 위에서 자기 교차수가 0인 곡선의 존재성으로 바꾸어 이야기할 수 있고, 그 따름정리로써, $E$가 안정적일 때, 대부분의 경우, 모든 $S^k E$가 안정적임을 보였다. 즉, $E$의 차수가 $2$인 경우, 알려진 사실에서 '충분히' 가정을 제거할 수 있다. 또한 이 논문에서는 $k=2$ 또는 $3$인 경우에 대한 $E$의 분류가 이루어졌다. $k=2$인 경우, $S^2 E$가 안정적이지 않은 $E$는 모두 직교 구조를 가지는 벡터 번들로, 기존에 알려진 기술들 사이의 관계를 밝혔으며,$k=3$인 경우, $S^2 E$는 안정적이지만 $S^3 E$가 안정적이지 않은 $E$가 존재함을 보였다 (단, 대수 곡선의 종수가 $2$ 이상). 마지막으로 이 논문에서는 $S^2 E$는 안정적이지만, 어떤 $k>2$에 대하여 $S^k E$가 안정적이지 않다면, 자명한 행렬식을 가지는 $E$는 주어진 곡선의 분기하지 않는 덮개 위에서 자명하게 됨을 보였다. 이 학위논문은 International Journal of Mathematics에 출판된 본 저자의 논문에 기초하여 작성되었으며, $E$의 도수가 짝수인 가정 아래에서의 결과를 도수가 홀수인 경우까지 일반화하였다.
