In this dissertation, pole-zero (ARMA) modeling of discrete-time linear systems using the recursive-least-squares (RLS) fast transversal filter (FTF) algorithm is investigated. Three types of ARMA FTF algorithms are studied.
First, an ARMA FTF algorithm for the unknown input case is proposed. This ARMA FTF algorithm can estimates unknown input excitation and the estimated input is used to determine the parameters of the pole-zero model. By introducing a spectral distance measure, we study the convergence characteristics of this algorithm, and show that it has rapid convergence speed. We also evaluate the performance of the proposed algorithm by applying to synthetic and natural speech spectral estimations. This algorithm accurately represents spectral peaks and valleys of speech and requires less computations than RLS lattice filters and the ARMA FTF algorithm of Ardalan and Faber(1988). Additionally, this algorithm can also be applied to other signal processing areas where the input is unknown.
Second, an ARMA FTF algorithm for the known input case is proposed. This algorithm can exactly estimate unknown filter coefficients. Simulation results are presented to show the rapid convergence speed and the numerical accuracy of the algorithm. We show that this algorithm converges more accurately than the ARMA FTF algorithm of Ardaln and Faber. This algorithm requires the same number of computations as that needed in the ARMA FTF algorithm for the unknown input case. These two algorithms are derived using geometric projections. The geometric projection approach gives insight and useful interpretation of various filters that form the algorithms.
Finally, since the ARMA FTF algorithm for the known input case is numerically unstable, a numerically stable ARMA FTF algorithm is derived. This numerically stable ARMA FTF algorithm is derived using geometric projections and the error feedback procedure. This algorithm can exactly estimate unknown filter coefficients like the ARMA FTF algorithm for the known input case. Simulation results are presented to show rapid convergence speed and the stability of the algorithm. This algorithm also converges accurately and rapidly. We compare computational requirements of this algorithm with RLS lattice filters and other ARMA FTF algorithms. The new numerically stable algorithm requires little more computations than the pole-zero FTF algorithm of Ardalan and Faber and less computations than the pole-zero lattice algorithm.
신호를 모델링하는 방법에는 AR(autoregressive) 모델과 MA(moving average) 모델, 그리고 ARMA(autoregressive moving average) 모델의 3가지가 있다. 일반적으로 AR 모델이 많이 쓰이나 우리가 알고자 하는 시스템의 전달함수에 강력한 zero 성분이 있는 경우에는 AR 모델로는 성능이 떨어지기 때문에 ARMA 모델을 사용해야 한다. 모델링된 신호를 구현하는 filter의 구조에는 transversal filter, lattice filter, systolic array의 3가지가 있다. Systolic array의 구조로는 아직 ARMA 모델에 대해 연구된 것이 거의 없고, lattice filter의 구조에서는 ARMA모델에 대한 연구가 많이 이루어졌다. Transversal filter의 구조에서는 1984년 Cioffi와 Kailath가 기하학적 투사방법을 이 filter에 적용하여 FTF(fast transversal filter) 알고리즘을 발표하여 큰 발전을 이루어냈다. 그 후 1988년 Ardalan과 Faber가 FTF 알고리즘을 ARMA 모델에 적용하여 입력신호를 아는 경우에 쓸 수 있는 ARMA FTF 알고리즘을 발표하였다.
본 논문에서는 3가지의 ARMA FTF 알고리즘을 제안하였다. 첫째는 입력신호를 모르는 경우에 입력신호를 추정하고, 추정된 입력신호와 측정한 출력신호를 바탕으로 ARMA 모델의 계수를 추정하는 알고리즘이다. Spectral distance measure를 도입하여 이 알고리즘의 수렴특성을 알아보았는데 매우 빠른 수렴속도를 가지고 있음을 알았다. 이 알고리즘을 자연음성과 합성음성의 spectrum 추정에 적용하여 성능분석을 하여 보니 음성 spectrum 의 peak와 valley를 매우 잘 추정함을 알 수 있었다. 따라서 이 알고리즘은 입력신호를 모르는 경우의 신호처리 분야에서 유용하게 사용될 수 있으리라 생각된다.
둘째는 입력신호를 아는 경우 쓸 수 있는 ARMA FTF 알고리즘을 제안하였다. 이 경우에는 1988년에 Ardalan과 Faber가 제안한 알고리즘과 유사한데, Ardalan과 Faber가 현재의 출력신호 x(n)의 추정시 사용하지 않은 현재의 입력신호 u(n)을 사용하여 좀 더 일반화된 알고리즘을 구현하였다. 모사실험으로 이 알고리즘이 빠른 수렴특성을 가지고 추정 된 계수들이 정확하다는 사실을 보여주었다. 이 알고리즘은 앞에서 설명한 입력신호를 모르는 경우의 ARMA FTF 알고리즘과 계산량이 동일한데 이는 Ardalan과 Faber의 알고리 즘에 비해 조금 줄어든 양이다. 이 알고리즘은 Ardalan과 Faber의 알고리즘보다 일반화 된 것이기 때문에 현재의 출력신호 x(n)에 현재의 입력신호 u(n) 성분이 없는 경우에는 서로 비슷한 수렴특성을 보이고, u(n)성분이 있는 경우에는 훨씬 뛰어난 수렴특성을 보인다. 지금까지 설명한 첫째, 둘째의 알고리즘은 모두 기하학적 투사방법에 의해 유도되었다.
셋째는 둘째의 ARMA FTF 알고리즘이 불안정하기 때문에 안정된 ARMA FTF 알고리즘을 제안하였다. 1991년 Slock과 Kailath는 1984년 Cioffi와 Kailath에 의해 제안된 AR FTF 알고리즘에 error feedback의 기법을 도입하여 SFTF(stabilized FTF) 알고리즘을 제안하였다. Error feedback이란 어떤 변수를 2가지 방법으로 계산한 후 그 두 값을 적당히 조합하여 계산이 거듭되어도 오류(error)가 쌓이지 않도록 하는 방법이다. 본 논문에서는 error feedback 기법을 ARMA FTF 알고리즘에 적용하여 안정화 된(stabilized) ARMA FTF 알고리즘을 유도하였다. 이 알고리즘도 빠른 수렴특성과 추정된 계수의 높은 정확성을 갖는다. 계산량은 안정화 되지 않은 ARMA FTF 알고리즘에 비해 약간 늘어나지만 ARMA lattice 알고리즘에 비해서는 적은 편이다. 모사실험으로 안정화 된 ARMA FTF 알고리즘과 안정화 되지 않은 ARMA FTF 알고리즘의 수렴특성을 비교하여 보니 훨씬 안정된 수렴특성을 가지고 있음을 알 수 있었다.
