We extend theory on matroids with coefficients in two different manners regarding the Lagrangian orthogonal/symplectic Grassmannians, which are (1) orthogonal matroids with coefficients and (2) antisymmetric matroids with coefficients. Our theory is closely related to delta-matroids, which capture combinatorial properties of symmetric and skew-symmetric matrices and graphs embedded in closed surfaces, whereas matroids capture common properties of linear spaces and graphs.
Orthogonal matroids, equivalent to even delta-matroids, are the most important subclass of delta-matroids, which capture combinatorial properties of skew-symmetric matrices and graphs embedded in closed orientable surfaces. Wenzel, in the 1990s, introduced orthogonal matroids with coefficients in fuzzy rings by making use of the Wick relations. The Wick relations are the quadratic identities for pfaffians of skew-symmetric matrices, which generalize Grassmann-Plücker relations. We extend Wenzel’s idea and present several cryptomorphic definitions of orthogonal matroids with coefficients. This cryptomorphism generalizes the Wick embedding, a parameterization of the Lagrangian orthogonal Grassmannian into a projective space. As applications, we show several theorems on the representability of orthogonal matroids and we present Farkas’ Lemma for oriented orthogonal matroids. Additionally, we investigate necessary and sufficient conditions to reduce the size of binary orthogonal matroids under preserving 3-connectivity.
We introduce a new matroid-like object called antisymmetric matroids, which generalizes matroids and orthogonal matroids and is compatible with delta-matroids. We establish antisymmetric matroids with coefficients in two different ways, extending a parameterization of the Lagrangian symplectic Grassmannian by Boege et al. in 2019. Our proof of the cryptomorphism involves the homotopy theorem for graphs associated with antisymmetric matroids, which generalizes both Maurer’s Homotopy Theorem for matroids and Wenzel’s Homotopy Theorem for orthogonal matroids.
계수가 주어진 매트로이드에 대한 이론을 라그랑지안 직교/심플렉틱 그래스만니안과 관련하여 두 가지 방법으로 확장한다. 첫째는 계수가 주어진 직교 매트로이드이고, 다른 하나는 계수가 주어진 반대칭 매트로이드이다.
직교 매트로이드는 반대칭 행렬과 닫힌 유향 곡면 위에서 정의된 그래프의 조합적 성질을 포착한다. 우리는 계수가 주어진 직교 매트로이드에 대한 여러 동등한 정의를 제공하며, 이는 라그랑지안 직교 그래스마니안의 사영 공간으로의 매개화인 Wick 매장을 일반화한다. 응용으로 직교 매트로이드에 대한 여러 표현성 정리를 얻으며, Farkas 보조정리의 유향 직교 매트로이드로의 확장 또한 얻는다. 추가적으로 우리는 3-연결성을 유지하면서 이진 직교 매트로이드의 크기를 줄이는 필요충분 조건을 제시한다.
우리는 반대칭 매트로이드라는 매트로이드를 확장하는 새로운 개념을 도입한다. 계수가 주어진 반대칭 매트로이드를 두 가지 동등한 방법으로 제시하며, 두 정의의 동등성은 라그랑지안 심플렉틱 그래스만니안을 매개화하는 방법을 내포한다. 증명은 반대칭 매트로이드에 대한 호모토피 정리를 수반하는데, 해당 정리는 Maurer의 매트로이드에 대한 호모토피 정리를 일반화한다.
