In this article, a covariant description for the classical spinning particle is proposed. The model is derived from the relativistic extension of the isotropic rotator model. This relativistic extension of the rotator model has the local SO(3, 1) symmetry on the general rotating frame and the covariant description is acquired by gauge fixing the symmetry through the specification of the general rotating frame.
This covariant description allows one to see a close analogy of the classical model with the pseudoclassical model. The new model has $\psi^*$ analog variables and contains a peculiar symmetry similar to the supersymmetry. Further, differently from other noncovariant description, all constraints can be put into the Lagrangian in the analogous way to the pseudoclassical model.
The Hamiltonian structure is analyzed to see the symmetries involved in this model and the spin momentum and its value is obtained. This model allows multiples of half integer values of the spin upon quantization. Furthermore, the spin factor is obtained through the BRST invariant path integral. It is completely the sames as the one in the usual pseudoclassical case.
1900년대초, 광전효과, 원자 스펙트럼과 같은 실험적 사실들을 바탕으로 하여 도입된 양자이론은 고전이론과는 달리 '스핀(spin)'이라는 독특한 개념을 요구한다. 특히 이변수는 각운동량과 같이 SO(3) 대수관계를 만족하기때문에 '스핀 각운동량'이라고도 불려지지만, 다른 변수들과는 달리, 대응하는 고전적 개념이 없어 상보성원리의 적용마저 모호해진다.
그러나, 디락 (Dirac) 방정식을 통해 스핀을 가진 입자의 확률파군의 운동을 보면 일정한 속도의 평균 운동경로주위로 굉장히 빠르게 진동하는 성분 (zitterbewegung) 을 확인할 수 있고 디락방정식 자체도 로렌쯔 (Lorentz) 변환에 대해 달리 변환하는 두가지 스피노 (spinor) 간의 관계식으로부터 유도될 수 있다는 것은 스핀이 양자론적 개념이 아닐 수도 있다는 것을 말해 준다. 실제로 1970년대 중반, 역가환 (anticommuting) 하는 그라스만 (Grassmann) 변수를 도입하여 스핀을 가진 입자의 운동을 가고전적 (pseudoclassical) 으로 기 술하는데 성공하였고 곧이어 군변수 (group variables) 를 이용하여 고전적으로 묘사하는데에도 성공하였다. 하지만, 이 고전적묘사는 가고전적 묘사와는 달리, 공변 (covariant) 하지 않고 변수들에 대한 제약조건 (constraints) 들이 일반적 형태로 라그랑잔 (Lagrangian) 안에 포함되어 있지 않다. 더우기 가고전적묘사의 $\psi^*$ 변수에 해당하는 변수가 도입되지 않기 때문에 양자화하였을 때 디락방정식이 얻어질 수 없다.
본 논문에서는 이러한 여러 단점들을 보완한 새로운 고전적 묘사방법을 제시한다. 특히 이 모델은 등방성 회 전자 (isotropic rotator) 모형 을 기본으로 하기때문에 여러 변수의 기하학적인 의미가 명확하다. 또 로렌쯔 국소변환에 대한 공변성을 유지하기 위해 새로운 변수 $t^a$ 를 도입하는데 이것은 바로 가고전적 모델의 변수 $\psi^*$ 에 해당한다. 그리고 기존의 고전적 묘사에서 의미가 모호했던 국소 U(1) 대칭성은 이러한 로렌츠 국소 대칭성이 게이지 선택 (gauge fixing) 에 의해 일부 깨어진 잔여 대칭성으로 이해될 수 있다. 더우기 새 로운 고전적 모델은 모든 제약조건들이 일반적 형태로 라그랑잔속에 포함되어 있으며 그 제약조건들의 포아쏭 (Poisson) 대수는 초대칭성 (supersymmetry) 와 유사한 구조를 갖는다.
이 새로운 모델에서도 총 각운동량의 운동량에 대한 수직방향성분으로부터 스핀 각운동량을 얻을 수있으며 이 스핀 각운동량의 포아쏭 대수는 기존의 스핀 대수구조를 갖는다. 또 이 모델에 대해 폴랴코프 (Polyakov) 스핀인자 (spin factor) 를 구해보면 가고전적 모델과 같은 형태를 갖는다. 결국 입자를 구조가 없는 점으로서 가 아니라 어떤 4 차원 좌표축 (frame) 의 원점 (origin) 으로 이해하고 이러한 좌표축의 운동을 상대론적으로 기술하면 스핀 각운동량의 개념을 얻을 수 있고 이에 대한 포아쏭 대수가 바로 스핀대수이다.
