In this study, a method of differential field approximation using the smoothed finite element method was developed and applied to develop high-performance finite elements. The node-based smoothing technique was used to define differential values at each node, and a differential field in an element is expressed by using the nodal values and shape functions. The differential field is linear in an element and continuous between elements. Three types of finite elements were developed using the proposed method. First, a 4-node tetrahedral element was developed for predicting the behavior of a general three-dimensional structure. The mixed formulation using a linear strain field and a compatible constant strain field was used. Secondly, a 3-node triangular element and a 4-node tetrahedral element based on the modified coupled stress theory for predicting size effects were developed. A linear rotation field, which is defined as the first derivative of displacement, was approximated to express the $2^{nd}A$ order derivative of displacement in a weak form of the governing equation. Third, a 3-node triangular shell element was developed. Since the strain is defined as the $2^{nd}$ order derivative of displacement in the Kirchhoff plate theory, the $1^{st}$ order differential field was approximated so that it be continuous, and the strain was calculated by differentiating that field. A node-based plane was introduced for defining nodal rotation in a three-dimensional shell structure, and the smoothing technique was applied on that plane. The preconditioned conjugate gradient method was used to solve a system equation. To solve eigenvalue problems efficiently, a modified subspace iteration method was developed and the reanalysis method was introduced. The performance of the proposed elements was verified through various numerical examples.
평활화 유한 요소법을 이용한 미분장 근사 방법을 개발하고, 고성능 유한 요소 개발에 응용하였다. 평활화 기법을 이용해 절점에서의 미분량을 정의하고, 요소에서의 미분장은 절점 미분량과 형상 함수를 이용해 표현한다. 근사된 미분장은 요소 내에서 선형이고 요소 간 연속이다. 제안된 미분장 근사 방법을 이용해 세 가지 유형의 유한 요소를 개발하였다. 첫째로, 일반적인 3차원 구조 거동 예측을 위한 4절점 사면체 요소를 개발하였다. 선형 변형률장과 적합 변형률장을 이용해 혼합 수식화하였다. 둘째로, 미세 구조의 거동 예측을 위한 커플 응력 이론 기반 요소를 개발하였다. 지배 방정식의 약형에 변위의 2차 미분이 포함되므로, 변위의 1차 미분인 회전을 연속이 되도록 근사한다. 셋째로, 3절점 삼각형 쉘 요소를 개발하였다. Kirchhoff 판 이론에 따라 변위의 1차 미분을 연속이 되도록 근사한다. 3차원 쉘 구조에서는 절점 평면을 정의하고, 이 평면에서 평활화 기법을 적용한다. 밴드 폭이 커진 강성 행렬을 그대로 분해하지 않고, 전처리 공액 구배법을 이용해 축차적으로 연립 방정식을 푼다. 고유치 해석을 위한 수정 부공간 축차법을 개발하였고, 재분석 기법을 도입해 고유치 해석의 효율성을 증가시켰다. 다양한 수치 예제를 통해 제안된 요소의 성능과 효율성을 검증하였다.
