This thesis is devoted to provide the novel mathematical framework for analyzing phenomena related to the transmission problems. Conducting objects placed in applied electric field induce the perturbation in them. Understanding such phenomena is of great interest in various physical applications such as surface plasmon resonance, cloaking, and stress concentrations. Mathematically, they are formulated in the form of interface problems on which the potential has to satisfy the transmission conditions. The resultant potential field can be represented using layer potential operators. In such problems, it is known that the shape of an underlying object dramatically affects the resulting field perturbation. The contents of this thesis mainly consist of three parts.
In the first part, we construct a family of harmonic basis functions, associated with the shape of the domain, based on the complex geometric function theory. The constructed basis leads to explicit series expansions for single layer potential, double layer potential, and the Neumann-Poincar\'{e} (NP) operators. In particular, the NP operator becomes a doubly infinite, self-adjoint matrix operator, whose entry is given by the Grunsky coefficients corresponding to the domain shape. This matrix formulation, along with the finite section method, provides us with a simple numerical scheme to solve the transmission problem and, also, to compute the spectrum of the NP operator for a smooth domain. The proposed series solution method requires us to know the exterior conformal mapping associated with the domain. To complement, we derive an explicit boundary integral formula, with which the exterior conformal mapping can be numerically computed so that one can apply the method for inclusion of arbitrary shape. We present both numerical and theoretical applications to prove the effectiveness of the proposed method. As numerical demonstrations, we compute exterior conformal mapping coefficients, eigenvalues of the NP operator, and we also solve transmission problems. As a theoretical application, we investigate the decay property of the eigenvalues of the NP operator for arbitrary simply connected domain with $C^{1+p,\alpha}$ boundary in two dimensions, with $p\geq 0,$ $\alpha\in (0,1),p+\alpha>\frac{1}{2}.$ We show that the eigenvalues $\lambda_k$ of the NP operator (ordered in size) satisfy $|\lambda_k|=O(k^{-(p+\alpha)+1/2}).$
In the second part of the thesis, we derive the complete spectral resolution of the NP operator defined on domains generated by two touching disks. There are two types of such domains, each of which has a cusp point, and hence they are not Lipschitz domains. On each example, it is not clear that the NP operator is a continuous linear operator on the space $H^{-1/2}$; accordingly, the analysis based on the Lipschitz property is not directly available. By adopting the M\"{o}bius transform, which maps two touching circles onto two parallel vertical lines, we define a new Hilbert space and extend to this space the NP operator defined on $L^2$ as self-adjoint and continuous linear operator. Then we compute the spectral resolution of the NP operator and characterize the spectral nature of the operator. The NP operator shows only the absolutely continuous spectrum on the whole interval $[-1/2,1/2]$. As an application, we analyze the surface plasmon resonance of a crescent domain and find the blow-up order of resonance.
The last part of this thesis provides an additional topic: 'A Joint Sparse Recovery Framework for Accurate Reconstruction of Inclusions in elastic Media'. A robust algorithm is proposed to reconstruct the spatial distribution of the Lam\'e parameters of multiple inclusions in a homogeneous background elastic body. The proposed method uses a few measurements of the displacement field over a finite collection of boundary points, while it does not require any linearization or iterative update of Green's function. The algorithm relies on an integral representation of the displacement field and sparsity of inclusions distribution. Our method consists of two steps. First, a joint sparse recovery problem has formulated to locate the support on inclusions. Then, a noise robust constrained optimization problem is solved to reconstruct elastic parameters. For numerical simulation, we employed the Multiple Sparse Bayesian Learning (M-SBL) for joint sparse recovery problem, and the Constrained Split Augmented Lagrangian Shrinkage Algorithm (C-SALSA) for the constrained optimization problem.
물체의 경계면을 기준으로 물리적 성질이 다를 때 일어나는 물리 현상은 수학적으로 경계치 문제로 기술할 수 있고, 이때 문제의 해는 층 퍼텐셜 작용소를 이용하여 표현할 수 있다. 본 논문은 이와 관련된 세 가지 연구 내용을 포함한다.
첫번째 연구에서는 외부등각사상을 이용하여 영역을 표현하고, 경계에서 새로운 기저 함수와 힐베르트 공간을 정의한다. 먼저 이 기저 함수의 단층, 이중층 퍼텐셜 작용소와 노이만-푸앵카레 작용소가 파버 다항식과 그런스키 계수를 이용한 정확한 급수 형태표 표현됨을 증명한다. 이 방법은 외부등각 사상의 로랑 급수 전계 계수를 필요로 하기 때문에 이를 계산할 수 있는 적분 공식을 증명한다. 이 결과를 바탕으로 외부등각사상 계산과 이를 이용한 경계치 문제를 해결하는 새로운 수치계산 방법을 제안한다. 또한 경계가 $C^{1+p,\alpha}$, $p\geq 0,$ $\alpha\in (0,1),p+\alpha>\frac{1}{2}$인 영역에서 정의된 노이만-푸앵카레 작용소의 고유치 $\lambda_k$가 $|\lambda_k|=O(k^{-(p+\alpha )+1/2})$의 속도로 소멸함을 증명한다.
두번째 연구에서는 두 개의 접하는 원이 만드는 영역에서 정의된 노이만-푸앵카레 작용소의 완전한 스펙트럼 분해를 계산한다. 기존의 이론은 립쉬츠 경계를 가지는 영역에서만 적용되기 때문에, 경계가 첨점을 가지는 이 경우에는 적용이 불가능 하다. 문제를 해결하기 위해 두 접하는 원을 두 평행선으로 바꾸는 뫼비우스 변환을 통해 새로운 힐베르트 공간을 정의하고, $L^2$ 공간에서 정의된 노이만-푸앵카레 작용소가 새로운 함수 공간에서 연속한 자기수반작용소가 되도록 자연스럽게 확장한다. 스펙트럼 분해 결과 노이만-푸앵카레 작용소는 구간 $[-1/2,1/2]$에서 절대연속 스펙트럼을 가진다. 이 결과를 응용하여 초승달 모양 영역에서 일어나는 플라스모닉 공명 현상을 수학적으로 해석하고, 경도함수의 폭발률을 계산한다.
마지막 연구에서는 균일한 탄성체 내부에 다수의 이물질이 존재할 때, 이물질의 공간적 분포와 물질계수를 복원하는 알고리듬을 제안한다. 제안된 방법은 물체 경계의 유한한 수의 측정 위치에서 적은 횟수의 변위 벡터 측정만을 활용하고, 추가적인 선형화나 반복적인 그린 함수의 갱신을 필요로 하지 않는다. 알고리듬은 이물질이 탄성체 내부에서 드물게 존재하는 조건과 변위 벡터의 적분표현을 이용한다. 제안된 방식은 크게 두 단계로 이루어 진다. 첫 번째 단계에서는 이물질의 공간 분포를 찾고, 두 번째 단계에서는 찾은 공간분포를 이용하여 최적화 과정을 통해 물질 계수를 복원한다.
