In this thesis, we propose a partial differential equation model for the three-dimensional volume reconstruction from 2-D slices. The proposed method is based on the modified Cahn-Hilliard equation for 3-D binary inpainting. In order to satisfy the constraints accurately as well as to obtain a smooth result, we propose a pre-smoothing procedure based on anisotropic diffusion applied to slices. Then we discuss the justification for our inpainting model through $\Gamma$-convergence analysis. After splitting a grayscale image into binary channels, we perform multi-channel Cahn-Hilliard inpainting. Then we adopt smoothing and shock filter as post-processing for combining binary inpainting results. In addition, we add the cartoon-texture decomposition to pre-processing in order to relax a pretty complex slice constraints. We demonstrate how to implement Cahn-Hilliard inpainting with the relaxed constraints using a solver known as convexity splitting. We apply our results for 2-D binary and grayscale images together with 3-D binary and grayscale synthetic images. Furthermore, We apply our method to reconstruct 3-D human body from parallel slices of CT images.
본 논문에서는 평행한 2차원 슬라이스의 단면 정보로부터 3차원 입체 복구를 위한 편미분방정식 기반의 인페인팅 모델을 제안한다. 제안된 방법은 수정된 칸-힐리아드 방정식에 기반을 두었고, 각 이진 채널에 3차원 이진 인페인팅을 수행하여 입체 인페인팅으로 확장한다. 제약 조건을 정확히 만족하게 하고 부드러운 결과를 얻기 위해, 충실도 항에서 슬라이스에 이방성 스무딩을 적용하여 제약 조건을 완화하는 절차를 제안한다. 그리고 제안한 에너지 모델에 대한 감마-수렴 분석을 통해 영상 인페인팅 모델의 수렴 분석과 정당성을 논의한다. 일반적인 8비트 값을 가지는 이미지를 이진 채널들로 나눈 후 각 채널에 대해서 이진 이미지 인페인팅을 수행한다. 그다음 이진 인페인팅 결과를 결합하여 다시 8비트 이미지로 만들 때 스무딩과 쇼크 필터를 이용해 후처리를 진행한다. 게다가 복잡한 슬라이스 제약 조건을 완화하기 위해 영상 분해를 추가하여 인페인팅을 진행하였다. 완화된 제약 조건을 가지는 칸-힐리아드 방정식을 수치적으로 풀기 위해 볼록성 분해 방법을 사용하였다. 수치실험에서는 2차원 이진 영상과 8비트 일반 영상, 그리고 3차원 이진 영상의 경계면 복구와 일반 영상의 입체 복구에 대해 제안한 인페인팅 모델을 적용하였다. 또한, 컴퓨터 단층 촬영 영상의 2차원 슬라이스들로부터 3차원 인체를 복원하는 문제에서도 제안한 인페인팅 모델을 적용하였다.
