In this thesis, we address traveling waves and patterns in predator-prey equations.
In Chapter 3, we investigate the existence of traveling wave pulses in Lotka-Volterra type predator-prey equations with strong Allee effect in prey population. For all positive speed $c \geq c^*$, there exist traveling wave solutions in which the population density of prey is strictly monotone and the one of predator is pulse shaped. The solutions describe extinction phenomena of prey by predator. We prove the existence of the traveling waves by means of a topological shooting argument.
In Chapter 4, we propose Lotka-Volterra type predator-prey equations which include constant harvesting and planting effects. To see the effect of the constant effects clearly we drop all other functional responses except the ones in the original Lotka-Volterra equations. We add a negative constant term for constant harvesting or the Allee effect for ecological phenomenon. A positive constant term is added to model consistent planting or supply. We find that the constant effect gives most of dynamic and static patterns observed by other models using various functional responses.
본 논문에서는 포식자-피식자 모델에서의 1차원 파동과 2차원 패턴에 대해 기술한다.
제 3장에서는 피식자 분포가 강한 알리 효과의 영향을 받을 때 이를 반영한 포식자-피식자 모델에서 펄스 진행파 해의 존재성을 파악한다. 어떤 최소 전파 속도에 대해 그 이상의 속도로 움직이는 펄스 진행파 해가 존재함을 증명할 수 있고, 이러한 진행파 해는 피식자 분포가 단조 함수 형태, 포식자 분포가 펄스 형태인 것이다. 이는 포식자에 의해 피식자가 멸종되는 현상을 묘사하는 것으로 기존의 연구들이 두 종이 공존하게 되는 현상을 설명했던 것과 구별된다. 바제스키 정리에 기반한 슈팅 기법을 통해 펄스 진행파 해의 존재성을 증명한다.
제 4장에서는 개체의 수확, 파종 효과를 고려한 포식자-피식자 모델을 제시한다. 수확, 파종 효과는 시간에 대해 일정한 변화율을 갖는 것으로 간주하고, 그 영향을 중점적으로 파악하기 위해 가장 단순한 형태의 반응 함수인 로트카-볼테라 타입 반응 함수를 채택한다. 종의 개체 수 변화율에 음의 상수항을 더하여 지속적 수확 효과 나 알리 효과를, 양의 상수항을 더하여 지속적 파종 또는 공급 효과를 묘사할 수 있다. 이 장 후반부에 상수 효과 모델이 형성하는 정적, 동적 패턴을 일부 수록하였다. 이는 기존의 로트카-볼테라 모델에 상수 효과만을 추가하여 형성한 패턴으로서, 우리가 제시한 모델이 다양한 반응 함수 모델에 따른 대부분의 패턴을 형성할 수 있다는 점에서 의의를 갖는다.