In this thesis, a study on the effective non-matching interface treatment methods based on a mortar method is introduced. The mortar method imposes displacement compatibility conditions along the interface using Lagrange multipliers. However, in this method, due to the introduction of the Lagrange multipliers, the system equation loses the positive-definiteness and becomes numerically unstable. To solve these numerical problems, in this thesis, the condensed mortar method is proposed by explicitly eliminating the Lagrange multipliers as well as the overlapped interface displacements in the finite element formulation. Therefore, the standard form as in the general structural formulation consisting of only essential parts of displacements is obtained. Among the mortar methods, the localized mortar method is a scheme that introduces a fictitious frame to precisely impose interface compatibility condition. In the localized mortar method, previously developed schemes of defining frame nodes are easy to apply when the interface is geometrically simple. However, these schemes are difficult to apply when the geometry of the interface is complicated especially in three-dimensional cases. Therefore, to overcome this limitation, new allocation schemes for defining the frame nodes are proposed.
By using the developed methods, a topology optimization for problems where two adjoined subdomains are joined or contacted is studied. First, to adequately impose the interface compatibility condition in the non-matching interface, the condensed mortar method is used. When the condensed mortar method is applied, the Lagrange multipliers and overlapped interface displacements are disappeared so that the overall system can be handled in the same manner as in the usual structural problems. Therefore, the conventional topology optimization process can be used without any modifications or considerations even when non-matching interfaces exist. When two meshes with different degrees of refinement are joined along the interface, the results of the topology optimization show great mesh-dependency. For alleviating the dependency, a modified filtering scheme is developed by introducing the area of each element in the existing weight function. Through the proposed topology optimization approach, several examples with non-matching interface meshes are presented.
본 논문에서는 모르타르 방법을 기반으로 불일치격자 경계면을 효과적으로 처리하는 방법론을 구축하는 연구를 수행하였다. 모르타르 방법은 불일치 격자에 약형의 적합성 조건을 부과함으로써 다양한 분야에서 합당한 결과를 얻을 수 있는 방법이지만 새롭게 추가된 라그랑지 승수에 의해 수치적으로 불안정하고 양정치성 시스템을 갖지 못하는 단점이 있다. 이러한 수치적인 문제점을 해결하기 위해서, 라그랑지 승수를 유한요소 수식화 과정 내부에서 제거하여 일반적인 구조물의 유한요소 수식화와 동일한 형태로 구성하는 응축된 모르타르 방법을 본 연구에서 제안하였다. 이와 더불어, 국부 모르타르 방법을 사용할 경우, 경계에서의 적합성 조건을 가상의 프레임을 통해 적절히 부과할 수 있도록 프레임의 절점을 배치시키는 연구를 수행하였다. 기존에 제안되었던 절점 배치방법들은 경계에서의 형상이 간단한 경우에는 적용이 용이하지만, 3차원 문제와 곡선 형상의 접촉면이 포함될 경우에는 적용하기가 어렵다는 한계가 존재한다. 따라서, 이러한 한계를 극복하고자 복잡한 형상의 경계가 포함되더라도 합당한 결과를 도출시킬 수 있는 프레임 절점 배치에 관한 연구를 수행하였다.
이러한 해석 방법론을 토대로, 서로 다른 두 영역이 접합하거나 접촉이 발생하는 시스템에서의 안전성과 강건성을 보장하기 위한 위상최적설계 방법론의 구축에 대한 연구를 수행하였다. 먼저, 불일치 격자 경계에서의 적합성 조건을 부과하기 위해 응축된 모르타르 방법을 적용하였다. 이 방법을 사용하면 라그랑지 승수가 수식화 과정 내부에서 사라지게 되므로, 일반적으로 사용되는 구조물의 수식화 형식과 동일한 형태로 취급할 수 있게 되어 기존에 연구되어 있던 위상최적설계 방법론을 직접적으로 응용할 수 있다. 이와 더불어, 불일치 격자 경계 내부에서 발생하는 불연속한 현상을 완화하기 위해서 기존의 필터링 기법에서 사용된 가중 함수에 서로 다른 요소의 크기를 고려할 수 있는 필터링 기법을 제안하였다. 결과적으로, 현재까지는 해결하지 못했던 불일치 격자 경계를 가지는 다양한 문제에 대한 위상최적설계를 간단하게 수행하였다.
