We examine the integral cohomology rings of certain families of $2n$-dimensional orbifolds $X$ that are equipped with a well-behaved action of the $n$-dimensional real torus. These orbifolds arise from two distinct but closely related combinatorial sources, namely from characteristic pairs $(Q,\lambda)$, where $Q$ is a simple convex $n$-polytope and $\lambda$ a labelling of its facets, and from $n$-dimensional fans $\Sigma$. In the literature, they are referred as toric orbifolds and singular toric varieties respectively. The first main result provides combinatorial conditions on a characteristic pair $(Q, \lambda)$ which ensure that the integral cohomology groups of a toric orbifold are concentrated in even degrees and torsion free. The second main result assumes these condition to be true, and expresses the cohomology ring of a toric orbifold as a quotient of a polynomial algebra that satisfies a certain condition called integrality condition arising from the underlying combinatorial data. Finally, we extend the idea of result about toric orbifolds to the category of torus orbifolds. We introduce the \emph{orbifold torus graph} which is an extension of the torus graph and the GKM graph. By the aids of Chang--Skjelbred sequence, we compute the equivariant cohomology ring with integer coefficients of a torus orbifold from the torus orbifold graph.
이 논문에서는 $n$ 차원 실 토러스 작용이 있는 $2n$ 차원 오비폴드, 즉, 토릭 오비폴드의 정수 계수 코호몰로지 환을 다루었다. 토릭 오비폴드는 characteristic pair 라 불리는 $n$ 차원 단순 다면체와 여차원 1의 면에 할당된 $n$ 차원 정수 벡터들로부터 정의되거나, 혹은 fan이라 불리는 조합적 대상으로부터 정의될 수 있다. 논문의 첫 번째 결과는 정수계수의 코호몰로지 군이 오직 짝수 차수에만 존재하고 꼬임이 없기 위한 충분조건에 관한 정리이다. 이 조건은 characteristic pair에 관한 조건이므로, 주어진 오비폴드의 조합적 성질로부터 쉽게 판단할 수 있다. 논문의 두 번째 결과는 위의 충분조건을 만족하는 토릭 오비폴드들의 정수계수 코호몰로지 환에 관한 정리이다. Characteristic pair로부터 얻어지는 특정 조건을 만족하는 다항식 환의 부분환과 일차 다항식으로 생성되는 아이디얼을 얻을 수 있는데, 이 부분환을 characteristic pair에 의해 결정되는 아이디얼로 나눈 상환이 코호몰로지 환과 동형임을 증명하였다. 마지막으로 위의 두 번째 결과에서 이용한 개념을 확장하여 토릭 오비폴드보다 일반화된 개념인 토러스 오비폴드의 equivariant 코호몰로지 환에 관하여 연구하였다. 매끄러운 토러스 다양체 이론에서 이미 잘 알려진 torus graph 또는, GKM graph 등의 정의를 오비폴드의 경우로 적용할 수 있도록 보완하고, Chang--Skjelbred 수열을 활용하여 토러스 오비폴드의 정수 계수 equivariant 코호몰로지 환을 계산할 수 있음을 증명하였다.