We review Ben Andrews’ article “Gauss Curvature Flow: the Fate of the Rolling Stones,” which was
published on Inventiones Mathematicae in 1999. The purpose of this paper is to fill in technical aspects
that Ben Andrews omitted in his paper, so that it can give more clear comprehension of his paper to the
readers who have just begun studying the Gauss curvature flow. This paper focuses on smooth convex
surfaces contracting in the direction of the normals by their Gauss curvature. By using various estimate
methods such as the curvature estimate, the isoperimetric estimate, and the Harnack estimate, we prove
that convex surfaces contracting by their Gauss curvature converge to a point in finite time, becoming
spherical as they deform. Furthermore, the case where initial surfaces are non-smooth is considered.
It is shown that the contraction of convex surfaces under the Gauss curvature flow is independent of
the initial surfaces’ regularity conditions, which draws the conclusion that the same properties must be satisfied in the case of non-smooth initial surfaces.
우리는 Ben Andrews의 논문 "Gauss Curvature Flow: the Fate of the Rolling Stones"를 리뷰하였다. 이 논문의 목적은 Andrews가 자신의 논문에서 생략한 기술적인 측면을 채우기 위한 것이며, 가우스 곡률 흐름에 대한 연구를 시작하는 독자에게 Andrews의 논문에 대한 더 명확한 이해를 주기 위함이다. 본 논문에서는 매끄러운 볼록 곡면이 가우스 곡률에 의해 법선 방향으로 수축하는 현상에 초점을 둔다. 곡률 부등식, 등주 부등식, Harnack 부등식과 같은 다양한 근사값을 통해 가우스 곡률에 의해 수축하는 볼록 곡면은 유한한 시간 안에 한 점으로 수렴하고, 그 과정에서 구의 형태로 수렴함을 증명한다. 또한, 초기 표면이 매끄럽지 않은 경우도 고려한다. 가우스 곡률에 의해 수축하는 볼록 곡면은 초기 표면의 정칙성 조건과 독립함을 증명하므로써, 초기 표면이 매끄럽지 않을 때도 동일한 특성이 있어야 한다는 결론을 이끌어 낸다.
