Nonlinear ARMAX models and generalized frequency response functions(FRFs) are good tools for identification of a nonlinear system as well as for control of it. The NARMAX model not only enlarges applicable input range, which is often restricted to very narrow one when a linear model is used, but enables spectral analysis of the system in terms of the generalized FRFs, which are very difficult by other methods. Once determined, the generalized FRFs give good descriptions of various nonlinearities such as harmonics, gain variation and intemodulations. With all the strong advantages of the NARMAX model, there are several obstacles to be solved first.
The main objective of the dissertation is to develope a nonlinear time series modeling approach for the purpose of the identification of nonlinearities contained in linear-based nonlinear systems. To achieve the purpose, the work has done about the following topics: i) testing of existence of nonlinearity, ii) investigating the several problems of the NARMAX modeling and, as a solution to them, developing a new modeling technique so as to fit the aim, iii) confirming the feasibilities of the method through applications to simulations and experiments.
As a start of the identification of nonlinear systems, an existence of any nonlinearity is tested using kurtosis or 4th moment, which has been widely used for analyzing signal patterns. By inputting a harmonic input to the nonlinear system and investigating distortions of the output signal from a harmonic pattern, which are due to violations of the proportionality between the input and the output, it is judged whether the output is generated from a linear system or not.
Most of nonlinearities in mechanical systems are often regarded as to be dependent upon amplitudes of responses. In case of a linear-based nonlinear system, which is regarded as linear for responses of small amplitudes and as nonlinear for large ones, linear characteristics of the system are found to do crucial roles in describing the nonlinearities. In order to identify nonlinear behaviors more accurately, therefore, linear parts of the NARMAX model should be estimated with attention. By taking the significance of linear terms into considerations, two step modeling procedure for the NARMAX modeling is developed.
At the first step, linear modeling in the linear range is executed, where an adequate model order as well as a linear ARMAX model are obtained. At the second step, nonlinear modeling for the nonlinear response are followed by increasing the nonlinearity order, where the nonlinear model terms are selected. Two kinds of modeling schemes are proposed for the second step. The first one is to take the linear ARMAX model of the first step as the linear parts of the NARMAX model. Under the condition that the linear model is estimated in the linear range where all of the nonlinearities are wholly excluded, the first one can be applied with safety. The second one is to select a NARMAX model of which linear parts are most closest to the linear ARMAX model of the first step. Basic concepts of both two schemes are the same, but the second one is less strict in determining the NARMAX model and is thought to have wide applicability.
A series of the above procedures is applied to simulations on the identifications of two nonlinearities and to experiments on a loudspeaker which has both electrical and mechanical nonlinearities. Through the applications, the priority of the two step procedure for the NARMAX modeling over the conventional method is clearly shown, where the advantages and the limitations of the two kinds of modeling techniques are investigated.
본 연구의 목적은 기계구조물에 포함되어 있는 비선형성을 규명하기 위한 비선형 시계열 모형화 방법의 개발이다. 이를 위해, i) 계의 비선형성의 존재여부 파악, ii) 비선형 모형화에 있어서의 여러가지 문제점의 검토와 이를 해결하기 위한 새로운 모형화 방법의 개발, iii) 계의 비선형성을 보다 정확히 규명하기 위해 제안된 모형화 전략을 모의 실험과 스피커 시스템의 실험에 적용하여 그 타당성을 검증하는 것으로 세분화하여 연구하였다.
주어진 비선형 계의 규명을 위해서는 먼저 계에 포함되어 있는 비선형성의 존재여부를 확인하는 것이 필요하며 이를 위해, 신호의 특성함수로 흔히 사용되는 4차 모멘트 혹은 kurtosis를 이용하는 방법을 제시하고 여러가지 비선형성 탐색에 응용하여 보았다. 정현파 입력을 계에 가할 때 비선형 계에서는 입, 출력신호 사이의 비례관계가 깨어지면서 계의 출력에는 정현파로부터 왜곡된 신호가 발생하게 된다. 이와 같은 왜곡을 정량화함으로써 계의 거동에 있어서의 비선형 존재 여부를 결정하였다.
대부분의 기계구조물에 있어서의 비선형성은 거동의 진폭과 밀접한 관계를 갖고 있으며, 이들 중에서 많은 경우는 진폭의 증가에 따라 비선형성이 강조되는 선형 근간-비선형 계로 볼 수 있다. 이와 같은 경우에, 계의 선형특성은 비선형성의 묘사에 절대적인 영향을 준다는 사실을 확인하였다. 따라서 모형화의 목적이 단순한 거동의 근사화만이 아니라 계에 포함된 비선형성의 정확한 묘사에 있다면, 비선형 시계열(NARMAX) 모형을 구할 때 선형항의 결정에 매우 주의를 기울여야 한다. 특히 비선형 모형은 그 유일성이 보장되지 않고 무수히 많은 가능성이 존재하므로 이들 중에서 어느 모형이 과연 사용자의 목적에 가장 합당한 지를 결정할 필요가 있다. 이와 같은 사항들을 고려하여 본 논문에서는 비선형 시계열 모형의 결정을 위한 2단계 모형화 과정을 제시하였다.
모형화의 1단계에서는 선형거동 범위내의 입, 출력으로부터 선형 시계열 모형과 계의 모형차수를 결정하고, 이어서 2단계에서는 비선형 거동묘사에 필요한 비선형 차수 및 각 모형항들을 결정하였다. 여기서 비선형항의 결정을 위한 2단계에 대해서 2가지 방안을 각각 제시하였다. 두가지 방안은 계의 선형특성을 비선형 시계열 모형에 최대한 유지시킨다는 기본적인 개념에 있어서는 동일하지만 이를 실현하는 방법에 있어서는 차이가 있다. 첫째 방법은 계의 선형특성을 비선형 모형에 그대로 사용하는 것으로, 선형모형을 결정할 때 비선형성에 의한 효과가 완전히 배제될 때 사용할 수 있는 방법이다. 두번째 방법은 첫째 방법보다 다소 유연한 방법으로 비선형 모형 선택에 있어서 그 선형특성이 1단계에서 구한 선형모형에 최대한 가깝도록 하는 것이다. 따라서 두번째 방법이 조금더 유연하며 그 적용가능성이 보다 넓다고 할 수 있다. 또 이 방법은 비선형 모형화에 있어서의 비유일성 문제를 해결할 수 있는 방법이라 하겠다.
이상의 과정을 기계구조물의 비선형성으로 흔히 사용되는 강화 스프링 모형과 유체 감쇠 모형의 모의실험에 각각 적용하여 그 타당성을 확인하였으며 또, 기계적인 비선형성과 전기적인 비선형성을 동시에 갖는 스피커 시스템에 적용하여 계에 포함된 여러가지 비선형성을 기존의 방법보다 보다 정확히 규명하였다. 이 때, 두번째 단계를 위해 제시된 두가지 방안의 장, 단점을 비교하였다.
