For the last decade, metamaterials have received tremendous amount of interest. Metamaterials refract electromagnetic waves in desired directions. This unique property drew researcher’s attention in many fields such as physics, acoustics, astronomy, and military applications, etc. Increasing interest about metamaterials requires developments of accurate numerical algorithms regarding metamaterials. The Finite-Difference Time-Domain (FDTD) algorithm can analyze electromagnetic fields in the time domain and provide transient responses that cannot be provided by other frequency-domain algorithms such as the Finite-Element Method (FEM). However, the FDTD has some inherent problems such as stability, averaging between dislocated field nodes, stair-casing error that comes from different material parameters to the background. The problems were dealt with conventional materials many times before, on the other hand, the problems were less dealt with the metamaterials. However, these problems must be analyzed and resolved first for accurate FDTD simulations regarding metamaterials. In this study, we discuss limitations of conventional stability analysis schemes of FDTD and provide a new perspective of stability analysis regarding metamaterials. A new FDTD update equation with interpolation operations was proposed in the body region of metamaterial structures. The proposed algorithm was proved to be stable according to the new stability analysis scheme. At boundaries of metamaterials, the material parameters were matched to the background by using high-order polynomial functions in order to reduce stair-casing error. The proposed metamaterials were less sensitive to boundary abrasion compared to conventional metamaterials.
메타물질은 전자기학뿐만 아니라, 물리학, 음향학, 천문학, 군사적인 응용에 이르기까지 다양한 분야에서 큰 관심을 받고 있다. 지금까지 메타 물질에 대한 분석은 주로 FEM 기법을 이용하였다. 하지만 FEM 방식의 큰 단점 중 하나는 시간에 따른 필드 변화, 즉 과도 응답을 구할 수 없다는 것이다. 또 주파수 대역을 갖는 입력에 대한 응답을 계산하기에 비효율적이다. 이러한 단점들은 레이더 펄스와 같은 넓은 주파수 대역폭을 갖는 입력에 대한 메타물질 해석에 큰 걸림돌로 작용한다.
반면, FDTD는 과도 응답을 구할 수 있고, 주파수 대역을 갖는 입력에 대해 효율적으로 계산할 수 있다. 또한 직관적이며, 빠르고 정확하게 임의의 구조 형태에 대해 적용 가능하므로, 메타 물질 해석에 적합하다.
이처럼 FDTD는 강력한 수치 해석 알고리즘이지만, 잘 알려진 고유한 문제들이 있다. 첫번째 문제는 필드 노드의 위치가 어긋나 있어서 인접 셀의 필드 값으로부터 평균을 구해야 하는 dislocation 문제이다. 두 번째 문제는 곡선을 갖는 경계를 직교 구조를 갖는 셀로 모델링함으로써 발생하는 stair-casing 오차이다.
메타 물질은 음의 유전율과 투자율을 갖기에, 이런 값들은 FDTD 내에서 특수한 처리를 필요로 한다. CFL 안정도 조건에 따르면 한 시간 스텝은 필드가 한 공간 스텝을 지나는 시간보다 짧아야 한다. 하지만 메타물질처럼 1이하의 물질 값을 가지면, 필드의 위상 속도가 광속에 비해 빨라지는 셈이므로, 그에 따른 적절한 처리가 필요해 진다.
FDTD의 문제를 해결하기 위해서 기존에 여러 연구가 수행되었다. 하지만 기존의 연구들은 유전율과 투자율이 양의 값을 갖는 물질에 대해서만 FDTD를 연구하였고, 메타 물질에 대한 연구는 찾아보기 힘들다. 사실 문제가 있다는 것조차 잘 알려지지 않았고, 문제에 대한 공유가 이루어지지 않았다. 따라서 본 연구에서는 먼저 FDTD 알고리즘을 메타 물질에 적용했을 때 FDTD 고유의 문제점이 어떤 식으로 나타나는지 2장에서 분석하였고, 제안한 분석 방법에 따른 해결책을 메타 물질 구조의 몸통 부분 (3장)과 경계 부분 (4장)으로 나누어 제시하였다.
기존의 행렬 고유값을 이용한 안정도 판별법은 전체 업데이트 행렬의 고유값이 0 이상이면 안정하다고 판별하였다. 본 연구에서는 연립 방정식 관점을 제시하여, 고유값이 단순 0 이상일 뿐만 아니라, 0보다 훨씬 커야 한다는 조건을 추가적으로 제시하였다. 또한 기존에는 전체 그리드에서만 안정성을 판별할 수 있었던 반면, 본 연구에서는 $3 \times 3 \times 3$ 크기의 미니 그리드를 고려하였다. 그로 인해 제안한 $3 \times 3 \times 3$ 안정도 판별법은 기존의 폰 노이만 판별법, 전체 행렬 판별법과 달리, 불안정성이 발생하는 위치를 알려준다는 특징이 있다. 또 전체 행렬 판별법에 비해 매우 빠르고 메모리 요구량이 적다. 제안한 판별법은 투명 망토, 로테이터, 컨센트레이터에 적용되어 잘 작동하였으며, 다른 메타물질에도 적용할 수 있는 가능성이 열려 있다.
3장에서 제안한 인터폴레이션 연산을 이용한 FDTD 알고리즘은 필드 왜곡 문제를 해결하여, FDTD 알고리즘의 에러를 낮추었다. 또한 큰 공간 스텝을 사용할 수 있게 되어, 계산 효율을 증가시켰다. 제안한 인터폴레이션 연산의 안전성을 수학적으로 증명하였다. 이는 메타 물질에 인터폴레이션 연산을 적용한 첫번째 연구 사례이다. 제안한 알고리즘은 다른 메타 물질에 대해서도 안정적으로 적용될 수 있는 가능성이 있다. 지금까지 메타 물질이 부착된 탱크나 항공기 같은 대규모 메타 물질 구조는 작은 공간 스텝의 제약과 필드 왜곡 문제로 인해 FDTD로 해석하기 까다로웠지만, 제안한 알고리즘을 이용하면 대규모 메타물질 구조에 대한 정교한 FDTD 해석이 가능하여, 앞으로 많은 분야에서 유용하게 이용될 것으로 예상된다.
본 연구의 4장에서는 고차 함수를 이용하여 메타 물질의 경계 부위에서 물질 상수 값을 배경 매질에 매칭함으로써 계단 오차를 감소시키고, 경계에서 발생할 수 있는 마모에 의한 민감도를 낮추었다. 이것은 메타 물질 경계에서 FDTD 정확성을 향상시킨 첫번째 연구이다. 이 효과들은 더 고차 함수를 사용함으로써 더욱 강화될 수 있다. 이 결과들은 제안한 방식이 탱크가 항공기 같은 복잡한 경계를 갖는 메타 물질 구조에 대한 FDTD 해석의 정확성을 높이거나, 경계에서 발생할 수 있는 마모에 대한 민감성을 낮추기 위해 활용될 수 있음을 의미한다.
5장에서는 컨포말 그리드 기법 중 하나인 LT-CFDTD를 적용하여 메타 물질 경계에서 FDTD stair-casing 에러를 줄이는 방법을 살펴보았다. 제안한 방법은 기존의 이론을 적용하여 이해하기 쉽고, 구현하기 쉬운 장점이 있다. 제안한 방법은 메타 물질 구조 경계에서 stair-casing 오차를 줄이는 효과가 있으며, 이를 이용하면 복잡한 경계 형태를 갖는 메타 물질 구조에 대한 더 정확한 FDTD 해석이 가능하다. 평행한 성분과 수평한 성분을 평균 취하지 않았는데, 각 성분 간에 평균을 취하면 더 정확한 계산이 가능할 것으로 예상된다.
