We consider an invariance of the symplectic capacity and the nonsqueezing theorem for infinite dimensional Hamiltonian systems. The symplectic capacity for infinite dimensional Hamiltonian systems was first introduced by Kuksin[34]. This result also contained the invariance of the symplectic capacity for Hamiltonian systems in the specific conditions. Many authors have studied the nonsqueezing theorem for the Hamiltonian systems which do not satisfy Kuksin’s condition. They only proved the nonsqueezing theorem by estimating between original and frequency truncated solution flow, without considering the symplectic capacity. For example, Bourgain [7] proved the nonsqueezing property of the 1D cubic nonlinear $Schr \ddot{o} dinger$ equation. However, we focus back to the symplectic capacity. Applying the idea of Bourgain [7] to the method of Kuksin [34], we relax the conditions of the Hamiltonian system, which was used by Kuksin [34]. Heuristically, we prove the invariance of the symplectic capacity by approximating the solutions to the original infinite dimensional Hamiltonian system by a modified Hamiltonian system which has linear flow on high frequencies and nonlinear flow on low frequencies. We also consider concrete examples such as the higher-order KdV equation and the Zakharov system. The nonsqueezing property of the higher-order Korteweg-de Vries flow was proved by Hong and Kwak [25], but we can extend this result to the symplectic capacity. Furthermore, we also prove the invariance of the symplectic capacity by the Zakharov flow on $L^2_x(\BbbT) \times H^{-1/2}_x,(\BbbT) \times H^{-3/2}_x (\BbbT)$, the sharp space has that the local well-posedness which can be obtained by $X^{s,b}$ space.
이 논문에서 우리는 무한 차원 해밀토니안 방정식에 따른 심플렉틱 용량의 불변성과 조임불가능성 정리에 대해 연구하였다. 무한 차원에서의 심플렉틱 용량은 Kuksin [34]에 의해 처음 소개 되었으며, 또한 그는 특정 한 조건을 만족하는 무한 차원 해밀토니안 방정식은 심플렉틱 용량이 불변한다는 것을 증명하였다. Kuksin [34] 이후, 많은 연구자들은 Kuksin의 조건을 만족시키지 않는 해밀토니안 방정식의 조임불가능성 정리를 연구하였다. 그들은 심플렉틱 용량에 대한 고려없이, 근사적인 방법을 사용하여 조임불가능성 정리만을 증명하였다. 예를 들어, Bourgain [7]은 1차원 비선형 슈뢰딩어 방정식의 조임불가능성 정리를 증명하였다. 하지만 우리는 Bourgain의 아이디어를 Kuksin의 방법에 도입하여, Kuksin이 제시했던 해밀토니안 방정식의 조건을 약화하였다. 우리는 심플렉틱 용량의 불변성을 보이기 위해 높은 진동수에서만 선형적으로 움직이 면서, 원래 방정식으로 근사하도록 조정된 해밀토니안 방정식을 이용하였다. 또한, 우리는 그 결과를 고계 KdV 방정식이나 Zakharov 연립방정식과 같은 구체적인 예에 응용하였다. 고계 KdV 방정식은 [25]에서 증명된 조임불가능성 정리를 심플렉틱 용량의 불변성으로 확장하였으며, Zakharov 연립방정식에서는 $X^{s,b}$ 공간을 사용하여 해의 존재성을 보일 수 있는 가장 큰 함수공간에서의 심플렉틱 용량의 불변성을 보였다.
