In this paper, several continuum-mechanics based finite elements are developed by remedying their deficiencies. Our focus is to develop reliable and efficient shell and solid-shell elements satisfying the ellipticity, consistency and inf-sup conditions. That is, basic tests including the isotropy, patch and zero energy mode tests should be passed and the elements should show uniformly optimal convergence to reference solutions regardless of asymptotic categories of the shell structures considered. Membrane locking severely deteriorates the performance of the of 4-node quadrilateral shell elements when curved geometries are solved with distorted meshes. Previous studies to remedy membrane locking based on reduced integration and assumed strain method has not been successful in developing reliable 4-node shell elements. In the present study, membrane locking in 4-node quadrilateral shell elements is deeply studied for arbitrary mesh geometry. Three new 4-node shell elements developed are presented. In addition, 6-node triangular solid-shell element is developed as an extension of previous shear locking treatment of 3-node shell element and the remedies of thickness locking in the previous literatures. The newly developed continuum-mechanics based shell elements are examined through basic numerical tests as well as comprehensive convergence studies encompassing the practical range of shell thickness.
쉘 구조물은 공학적으로나 자연적으로 널리 존재하지만, 그 거동현상을 수학적으로 해석할 수 있는 방법이 없어 유한요소법과 같은 수치해석이 주로 쓰인다. 이번 연구에서는, 어떠한 쉘 구조물의 형태나 거동에 관계없이 정확하고, 효율적이며 안정적인 해석을 수행할 수 있는 저차 쉘 유한요소들을 개발하는 것을 목표로 한다.
효과적인 쉘 유한요소는 등방성(isotropy) 거동을 보이고, 일관성(consistency)와 타원율(ellipticity) 조건에서 오는 다양한 기본적인 테스트들을 만족해야 한다. 모눈 실험(patch test) 와 영에너지 모드 실험(zero-energy mode test)가 대표적인 테스트로, 쉘 유한요소가 작은 메쉬 개수에서도 정확한지와 정적, 동적 해석에 관계없이 쓰일 수 있는지를 각각 테스트한다. 또한 해의 수렴성능 면에서 쉘 구조물의 형상, 두께, 경계조건과 하중 등에 상관없는 최적의 수렴 거동을 보여야 한다. 수렴 거동이 유한요소의 메쉬 크기를 작게 함과 관계없이 큰 오차로 영향을 받는 현상을 잠김 현상이라고 하며, 막 잠김, 전단 잠김, 두께 잠김 현상 등이 있다.
쉘 유한요소를 감절점 쉘(degenerated), 연속체 쉘(solid-shell)과 평판 쉘(flat shell) 로 구별할 수 있고, 현재까지 수행된 연구들을 보았을 때 그 장, 단점 및 해결해야 할 부분 또한 상이하다. 계산 시간 면에서 효율적이어서 널리 쓰이는 저차 쉘 유한요소들의 경우, 사각형 감절점 쉘의 막잠김 현상을 효과적으로 해결하는 것은 오랜 유한요소 분야의 난제였으며, 또한 두께 잠김 현상을 해결해서 삼각형 연속체 쉘을 만드는 것 또한 가치있는 연구이다.
사각형 4노드 감절점 쉘 유한요소는 대체 변형률장 방식으로 전단 잠김현상을 제거한 요소 (MITC4쉘 유한요소)가 널리 쓰이고 있다. 그러나 요소가 굽어진 형상을 가질 때 굽힘 거동에서 발생하는 막 잠김 현상은 효과적인 해결책이 오랫동안 나오지 않았다. 널리 쓰이는 저차 수치 적분(reduced integration)은 거짓영에너지 모드(spurious zero energy mode)를 가짐으로 인해 안정화 행렬을 사용해야 하며, 물리적인 영에너지 모드(physical rigid body mode)가 제대로 표현되지 않아 변위 투사(displacement projection) 등 쉘의 물리적 거동에 영향을 주는 기법들이 쓰여야 한다. 또한 대체 막변형률장을 이용한 지금까지의 연구들은 기본적인 테스트들 중, 특히 모눈 실험(patch test)와 막 성능 자체를 보존하는 것에서 효과적이지 못했다.
사각형 4노드 감절점 쉘 유한요소의 개발을 위해 일반적인 형상의 쉘 유한요소에서 막 잠김 현상이 발생하는 원인을 밝혀 내었다. 이로부터 3가지의 개선된 사각형 쉘 유한요소 (MITC4+, MITC4+N, new MITC4+)이 개발되었다. 대체 막변형률장에 기초로 한 이 요소들은, 지금까지의 연구들이 모눈 실험 통과와 막 성능 보존과 같은 기본 테스트들을 만족하지 못했던 어려움을 극복하였다. 마지막 사각형 감절점 쉘 유한요소(new MITC4+)의 경우 막 성능도 기존의 유한요소(MITC4) 와 동일하며, 굽힘 거동에서 최적의 거동에 가까운 수렴 성능을 보인다. 또한 복잡한 계산을 요구하는 기하 비선형 문제에서 기존의 유한요소(MITC4)와 유사한 안정적인 성능을 보인다.
새롭게 개발된 삼각형 6노드 연속체 쉘 유한요소는 기존에 대체 변형률장 방식으로 전단 잠김현상을 제거한 감절점 3노드 쉘 유한요소 (MITC3+쉘 유한요소) 및 기존에 쓰이는 두께 잠김현상의 해결책 중 효과적인 강화 대체 변형률장 방식(Enhanced Assumed Strain) 을 기초로 한다. 새롭게 개발된 삼각형 연속체 쉘 유한요소(MITC-S6)는 기본적인 테스트들을 만족하며, 굽힘 거동에서 최적에 가까운 수렴 성능을 보인다. 기하 비선형 문제에서도 기존의 유한요소들과 일치하는 결과를 내었다.
