In this paper, we deal with the equations of the type
{$-\Delta u = |u|^{p-1}u - f$ in $\Omega$,
$u = 0|\partial \Omega$ $\Omega bounded domain in R^N$}
where $p \in (1, {N+2}/{N-2})$ with $N \geq 3$ and $f \in L^2(\Omega)$.
Judging by the case of ordinary differential equations, it is predicted that the above equations have infinitely many solutions.
However, in general the proof of this conjecture remains open.
There were two types of approach to solve this problem.
The first one is using the index theory and minimax method, and the other one is using the concepts of the algebraic topology, in particular, the Lefschetz-Hopf fixed point theorem.
Both of these approaches partially solved the problem.
The purpose of this paper is that to introduce and review these two approaches together.
본 논문에서는 다음과 같은 꼴의 방정식들을 다루고 있다.
{$-\Delta u = |u|^{p-1}u - f$ $\Omega 안에서$ ,
$u = 0| \partial \Omega$ $Omega 는 R^N 안의 유계 구역$ .}
여기에서 $p \in (1, {N+2}/{N-2})$, $N \geq 3$ 이며 $f \in L^2(\Omega)$ 이다. 상미분방정식의 경우를 생각해 볼 때, 이 방정식의 해가 무한히 존재할 것이라고 예상되지만 이것은 아직 증명되지 않았다. 이 문제를 풀기 위한 두 가지 다른 방식의 접근이 있었다. 첫번째 방식은 인덱스 이론과 미니맥스 원리를 이용하는 것이며, 두번째 방식은 대수적위상수학의 레프셰츠-호프 정리를 이용하는 것이다. 본 논문에서는 이 두가지 접근 방식을 함께 소개하고 정리하였다.
