We propose a finite element method (FEM) for solving planar elasticity problems involving of heterogeneous materials using uniform grid. Since the interface is allowed to cut through the element, we modify the standard Crouzeix-Raviart (CR) $P_1$-nonconforming basis functions so that they satisfy the jump conditions along the interface. It is well-known that the nonconforming piecewise linear FEM does not satisfy the discrete Korn’s inequality. To ensure the coercivity of the bilinear form arising from using the nonconforming finite elements, we add stabilizing terms as in the discontinuous Galerkin (DG) method. Numerical experiments for various problems show that second order convergence in $L^2$ and first order in $H^1$-norms. Moreover, the convergence order is very robust for nearly incompressible case.
본 학위 논문에서는 고른 격자를 사용하여 이종 매체 위에서의 탄성 문제를 풀기위한 유한요소법을 제시하였다. 이러한 방식의 격자를 사용하게 되면, 시스템이 구조적이 되기 때문에 흔히 잘 알려져 있는 다중격자법을 사용하기 편리하고 경계면에 따라 새로이 격자를 생성해야하는 수고를 덜 수 있다. 이 유한요소법은 경계면이 원소 내부를 통과할 수 있기 때문에, 기존의 기저는 사용할 수가 없다. 따라서 우리는 일반적으로 사용하는 기저를 개선하여 기저 자체가 경계면을 따라 만족해야하는 조건을 만족하도록 하였다. 조각마다 선형인 비 적합 원소는 탄성 문제에서는 그대로 사용할 수가 없음은 잘 알려져 있다. 이는 불연속 갤러킨 방법에서 나오는 안정성 항을 도입함으로써 이를 극복 할 수 있다. 다양한 문제에 대한 수치실험 결과는 이론적은 최적의 수렴 성을 보여주고 있다. 또한 거의 비 압축한 경우에 대해서도 이론적인 최적의 수렴 성을 보여주고 있다.
