In this thesis, we are going to mainly discuss about the low regularity Cauchy problem for fifth order dispersive equations, in particular, the (integrable) fifth-order modified KdV equation
$\partial_tu$ - $\partial_x^{5}u$ + $40u\partial_xu\partial_x^{2}u$ + 10u^2\partial_x^{3}u$ + $10(\partial_xu)^3$ - 30u^4\partial_xu$ = 0 and the (integrable) fifth-order KdV equation
$\partial_tu$ - $\partial_x^{5}u$ + $30u^2\partial_xu$ + $20u\partial_xu\partial_x^{2}u$ + $10u\partial_x^{3}u$ = 0
under the periodic boundary condition. Both equations are locally well-popsed via the standard energy method in the Sobolev space $H^s(T)$ for s > 2 and $s \ge 2$, respectively, and the fifth-oreder KdV equation is, in particular, globally well-posed in the energy space $H^2(T)$ thanks to the conservation law of the Hamiltonian.
In Chapter 1, we provide general theory concerning the low regularity Cauchy problem for dispersive equations, in particular, the Fourier restriction norm method. Moreover, we introduce KdV equation as the complete integrable system and provide a short proof of the local well-posedness, which is based on the Picard iteration method in addition to the $X^{s,b}$ space. The fifth-order KdV and modified KdV equations are also introduced in this chapter. Reviews and main idea to show the local well-posedness of certain equations will be provided.
In Chapter 2, we are going to show that nonlinear estimates for the fifth-order KdV and modified KdV equations fail in the standard $X^{s,b}$ space for any regularity. Also, we construct the short time $X^{s,b}$-type function space to overcome the failure of nonlinear estimates and introduce good properties of this new space. At the end of this chapter, we provide a short proof of the local well-posedness for the non-periodic fifth-order KdV equation by using the short-times $X^{s,b}$ space, which is contained in the author's first work [12].
In Chapters 3 and 4, we provide main ingredients in this dissertation: Nonlinear estimates and energy estimates concerning both the fifth-order modified KdV and the fifth-order KdV equations, and proof of the local well-posedness for the fifth- order modified KdV equation on T. In particular, we show the unconditional local well-posedness for the fifth-order modified KdV equation for s > 7/2 in Chapter 3. Chapters 3 and 4 are based on the author's works [27] and [28], respectively.
In Appendix, for the completeness of the proof of the local well-posedness for the KdV equation on R in Section 1.2, we introduce Tao's [k;Z]-multiplier, and using this, we prove the bilinear estimate.
본 논문에서 저자는 5계 분산 방정식, 특히 주기성 함수를 해로 가지는 변형된 5계 KdV 방정식과 5계 KdV 방정식의 low regularity Cauchy problem에 관한 연구를 진행하였다.
본 논문 1장에서는 분산 방정식의 low regularity Cauchy problem에 관한 일반적인 이론에 대해 소개하고 있다. 특별히 Fourier restriction norm 방법을 소개 하면서 분산 방정식의 해가 가지는 구체적인 성질들을 살펴보고 이러한 성질들을 잘 반영하는 $X^{s,b}$ 공간에 대해서 소개하였다. 또한 5계 방정식의 출발점이 되는 KdV 방정식의 complete integrability 성질과 Contraction mapping principle을 이용한 $X^{s,b}$ 공간에서의 해의 존재성에 관해 간략한 증명을 소개하였다. 본 논문의 주요 과제인 변형된 5계 KdV 방정식과 5계 KdV 방정식의 소개 및 Cauchy problem 측면에서의 주요 관점들에 관한 소개 역시 본 논문 1장에서 찾아볼 수 있다.
본 논문 2장에서는 변형된 5계 KdV 방정식과 5계 KdV 방정식이 기본적인 $X^{s,b}$ 공간에서 nonlinear estimate가 성립되지 않는 반례를 제공하고 이 문제를 극복하기 위한 대안책으로 short time $X^{s,b}$ 구조를 소개하였다. 또한 석사 학위 논문의 주된 과제였던 비 주기성 함수를 해로 가지는 5계 KdV 방정식의 해의 존재성에 관한 간단한 증명도 소개되었다.
본 논문 3, 4장에서는 박사 학위 논문의 주된 연구 과제인 주기성 함수를 해로 가지는 변형된 5계 KdV 방정식과 5계 방정식의 Cauchy problem에 관한 내용이 각각 소개되었다. 특히 이 문제가 KdV 방정식이 가지는 complete integrability 성질에 의존한다는 것이 중요 관찰 중 하나였고 short time 구조가 주는 부작용을 해소하기 위해 energy estimate에서 non-resonant term에 대한 frequency localized modified energy를 사용한 부분이 수학적인 어려움이었다.
마지막으로 Appendix에서 본 논문 1장의 KdV 방정식의 해의 존재성에 관한 증명을 위한 기초 지식인 Tao's [k;Z]-multiplier norm method에 대한 소개와 이를 이용한 bilinear estimate 증명을 찾아볼 수 있다.
