The stability of gravity-capillary solitary waves on deep water is theoretically and numerically investi-gated using a model equation that admits steep wave patterns near the minimum of the linear gravity-capillary phase speed, $c_min$. Both depression and elevation two-dimensional (plane) gravity-capillary solitary waves of this model are theoretically proven to be unstable to transverse perturbation to the direction of propagation. Indeed, the transverse instability problem of plane gravity-capillary solitary waves on deep water through completely theoretical proof has never been studied; therefore we give a complete theoretical proof of the in-stability of the waves. We also make certain the instability by numerical simulation, which indicates that the instabilities of 2-D elevation and depression waves result in fully localized depression three-dimensional soli-tary waves. The stability of 3-D solitary waves of depression is also concerns, and they are theoretically found to be stable in the presence of longitudinal perturbation. The numerical simulation shows, however, the 3-D solitary waves have more complicated stability characteristics: Small-amplitude waves are unstable, and they may evolve into a finite-amplitude oscillatory state or decay monotonically to zero, while steep waves are stable.
자유 표면에 압력을 불어서 만들어낸 진폭이 큰 wave 패턴을 표현하기 위하여 모델 방정식이 제안 되었다. 이 모델 방정식을 이용하여 중력-표면장력 고립파(gravity-capillary solitary wave)의 안정성을 이론적, 수치적으로 평가하였다. 이 모델 방정식은 비록 지배방정식을 이용하여 체계적으로 유도된 것은 아니지만, 실험으로 만들어낸 깊이 움푹한 고립파(steep solitary waves of depression)의 주된 특성들을 잘 표현하는 것으로 증명되었다. 그리고 이 깊은 고립파는 약한 비선형(weakly nonlinear)으로 가정하기 어렵다. 2차원 중력-표면장력 고립파가 회방향 동요 (transverse perturbation)에 대하여 이론적으로 안정하지 않다는 연구 결과가 있었지만 이론적으로 완전히 증명되지 못 하였다. 따라서 깊은 고립파를 표현한 수 있는 이 모델 방정식을 이용하여 횡방향 동요에 대한 2차원 고립파의 이론적 안정성 문제는 다루어진 적이 없다.
이 2차원 고립파는 깊은 수심에서 안정하지 않음을 선형 안정성 분석 (linear stabil-ity analysis)를 통하여 증명하였다. 그리고 시뮬레이션을 통해 이 불안정성에 의해 3차원 고립파가 생성됨을 확인하였다. 본 연구에서는 이 3-D solitary waves 에 대한 안정성도 다루어, 높이방향 동요 (longitudinal perturbation) 에 대하여 안정함을 알 수 있었다. 시뮬레이션 결과는 보다 복잡한 안정성 특징을 보여주었다. 작은 진폭의 3-D solitary waves는 불안정하여 진폭이 큰 변동하는 상태가 되거나, 진폭이 지속적으로 감소하여 소멸된다. 반면 깊은 3차원 고립파는 안정함을 알 수 있었다.