A syzygy of a given projective variety explains how the homogeneous ideal of the projective variety is generated. And Koszul cohomology, or graded Betti numbers, give basic information for the syzygy. Then, the vanishing and non-vanishing of Koszul cohomology implies some geometric property of the projective variety.
In this thesis, we will study syzygies of Veronese embeddings. First, we introduce the definition of Koszul cohomology. And then, we prove M. Green’s Vanishing Theorem and Duality Theorem, which are basic tools for computation of Koszul cohomology. Furthermore, Vector Bundle Technique will be suggested so that one can compute the Kouszl cohomology by using the sheaf cohomology.
Second, we will define property Np for a vanishing property of the Koszul cohomology. And we see a result of G. Ottaviani and R. Paoletti. It says that graded Betti numbers of Veronese embeddings are not so simple in the view of property $N_p$. Also, we suggest a geometric interpretation of the result.
Finally, we will introduce a notion of asymptotic syzygies, and a recent result of L. Ein and R. Lazarsfeld.
syzygy는 homogeneous ideal $I_X \subseteq S$ 의 free resolution을 생각함으로써 주어진 사영다양체를 이해하기 위한 도구이고, 이러한 syzygy를 기술하려면 graded Betti 수들을 알아야 할 필요가 있다. 이때 graded Betti 수들은 Koszul cohomology를 통해 구할 수 있다.
그래서 Koszul cohomology의 vanishing과 non-vanishing은 기본적이자 중요한 문제이고, 주어진 사 영다양체가 Veronese 다양체인 경우는 흥미로운 연구이다. 우리는 이 논문을 통하여, G. Ottaviani와 R. Paoletti를 결과를 중심적으로 살펴봄으로써, 다음과 같은 minimal free resolution
… $\longrightarrow S(-3d + 1)^{\oplus\beta _{3d-2}} \longrightarrow S(-3d + 2)^{\oplus\beta _{3d-3}} \longrightarrow … \longrightarrow S(-2)^{\oplus\beta _1} \longrightarrow I_X \longrightarrow 0 $
가 존재하지 않고 Veronese 다양체의 syzygy가 간단하지 않다는 사실을 알 수 있었다. 그리고 추가적으로 G. Ottaviani와 R. Paoletti의 결과에 대한 기하학적인 관점을 제시하였다.
마지막으로, 최신 연구 동향으로, Veronese embedding의 일반화로 이해할 수 있는 asymptotic syzygy 를 소개하였다.
